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Leopold Gegenbauer. 
Zeichen, wenn ihre Ordnung 2 (mod. 4) ist und bleibt ungeändert, wenn ihre Oidnung n. 0, 3 
(mod. 4) ist. 
Für quadratische Determinanten hat diesen Satz Herr Janni autgestellt. 
Ist ferner; 
wo p eine primitive ote Einheitswurzel ist, so erhält man: 
h ; Hj • 
\a. 
H f H7"'7 — ^7 j n) 
Aus dieser Gleichung folgt das Theorem; 
Eine Determinante höheren Ranges ändert ihren Werth nicht, wenn man jedes Element derselben mit 
derjenigen Potenz einer primitiven uten Einheitswurzel multiplicirt, deren Exponent gleich der Summe von a 
bestimmten Indiens desselben ist. 
Setzt man endlich: 
Pk-Pk=-^Pk-’^ 
und versteht unter w eine primitive wte oder (w-(-l)te Eiriheitswurzel, so erhält man sofort den folgenden Satz: 
Eine Determinante höheren Ranges von der Ordnung n ändert ihren Werth nicht, wenn man jedes 
Element derselben mit derjenigen Potenz einer primitiven wten oder (w-Hl)ten Emheitswurzel multiplicirt, 
deren Exponent gleich der Summe von a bestimmten Indices desselben ist, falls a gerade ist; ist hingegen a 
eine ungerade Zahl, so ändert die Determinante im ersten Falle das Zeichen, wenn n gerade ist, im zweiten 
Falle, wenn n ungerade ist, und bleibt im ersten Falle bei ungeradem, im zweiten bei geradem n ungeändert. 
Für a—p erhält man den Satz: 
Eine Determinante geraden Ranges von der Ordnung n ändert ihren Werth nicht, wenn man jedes 
Element derselben mit derjenigen Potenz einer primitiven wten oder (w-^l)ten Einheitswurzel multiplicirt, 
deren Exponent gleich der Summe der Indices desselben ist; eine Determinante ungeraden Ranges von der 
Ordnung n hingegen ändert im ersten Falle das Zeichen, wenn n gerade ist, im zweiten, wenn n ungerade 
ist, und bleibt im ersten Falle bei ungeradem, im zweiten bei geradem n ungeändert. 
Bekanntlich ist: 
z 
wo: 
. . p-l *1; —1; 2,'• 
(- 1 ) 
7 ^27 • • ' 7^P 
diejenige Determinante pten Ranges von der Ordnung (n — l) ist, welche man erhält, wenn man alle Ele¬ 
mente der Determinante: 
1 H> G - • • Ht ■ ■ ■ - 
welche an der ersten Stelle den Index \, an der zweiten den Index an der ^ten den Index kp haben, 
we«-lässt und die noch übrigen (n— ly Elemente zu einer Determinante gleichsam zusammenschiebt. 
Ist nun: 
a. . 
hl • V *2? 
p = 2q 
= 0 
\a. . 
I H7 H7'*'7Hq. 
\- z 
*i; *2; • • •) 4—ü hh > G- - •> ^ *1; *2; • • V *2—0 *2> • ■ • tH ^ 
(h; 12; • * V ^22 “ ^ " G 
hl *2f-> *2—1 
SO hat man: 
