Zur Theorie der Determinanten höheren Ranges. 
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Alsdann ist: 
Ht 1 ” 
V 
HlH> ■ ■ 1 
*1; ” 
/ C. . . X. . . = a. . . *P+ 1 ) • • ■) * 2»—2 = ^ 2 ) • • •) V] 
Hf ^2} • ’' f ^2p—2 Hf ^27' ” J ^2p-~2> ^2p —1 1 
Z 
h ! H>- ■ •;*?—*-1 
C. . a, . . . = § . \ a. . . I , . . ■ , £> 
ip—i r ... f T ^ I 2 ). ■ ■ f^p—i > ^2p —1 ^p—\\ .?1 * • ' y^Px iJl yJ2y’ ' ' y3p ^y‘ * -y ‘ 
[T^Xa, (7 = 1, 2,...,r] 
*^1; ^2; •' *; ^ 
Z 
c, . . a. . =0 
* 1 ; *2; • • ■) Hp—i HyHy-y ®p—*2i>—1 
*2v • •; —1 = 1 
in allen anderen Fällen. 
Theilt man nun die Elemente der Determinante: 
H ; ^2 7 ■ ■ *; V—^ ^ 
H 7 ^2;- • ‘7 2 
hy *2) ■• -7 *P—1 = X 
«, . 
HyHy-y V—*; *2^;—1 
(Ip, ^-2^—3 — X, 2,. 
.,») 
in zwei Gruppen in der Art, dass die erste Gruppe alle jene Elemente enthält, in denen die festen Indices die 
Werthe Xj, Xg,...,^^ haben, die zweite Gruppe alle anderen Elemente, so ist: 
7 ^27 ' * *7 ^ ^ 
y c.. 
/—J h y ^2y ■ ’’-2p—2 *1; *27 ■ • *P—1; *2p —1 
*1 7 *27' • - 7 *i>—1= 1 
(ip, G+ 17 ■ • ■ 7 *2^7—1 — I 7 ^7 • • ■ 7 **.) 
Z: 
Al A 2 
wo Aj irgend eine aus den Elementen der ersten Gruppe gebildete Determinante rter Ordnung und ^ten 
Ranges, Ag eine aus den Elementen der zweiten Gruppe gebildete Determinante desselben Ranges von der 
Ordnung n—r ist, und die Summation sich über alle jene Producte zu erstrecken hat, welche man erhält, 
indem man ein beliebiges A^ nimmt und sodann Ag so wählt, dass kein Element dieser Determinante einen 
gleichen correspondirenden Index mit einem Elemente von A^ hat. Das Zeichen wird in bekannter Weise 
durch das Vorzeichen, welches das Product der Hauptdiagonalglieder dieser beiden Determinanten in der 
ursprünglichen Determinante hat, bestimmt. 
Nun sind alle Determinanten Aj gleich Null mit Ausnahme einer einzigen, welche den Werth 
i ^ly ^2y • '.y^p 1 (X^i 7 ^2y... y^p = '^\y ^2y “ y Xt*) 
hat, es enthält ferner die diesem Aj entsprechende Determinante Ag nur n—r von Null verschiedene Elemente, 
welche sämmtlich gleich: 
h7i7727---77VlO'i7727- • •77?> = l7 2,.. fl) 
sind, und daher hat man die Relation: 
*17 Hy 
., ip—i = n 
n — r 
Hy Hy 
y c. . 
Z_; *17 *27 • • • 
•7^-1 = ! 
«. . 
7 "Hp — 2 Hf ^27 • 
•7 V—2; ^2^—1 
= 
a. . 
Jl ) J2y' ‘ • }JP 
fcj, k^, . 
.,kp 
0*1 } 3 2y' 
' 'yJpy *P7 
*' 7 ^2p—l ^7 ^ 
7 • * • 
n; h^, ... , 
]Cp = 
= Xi, X 2 ,. 
•7 Xt-) 
Nennt man die mit dem nöthigen Vorzeichen versehene Unterdeterminante (n—r)ter Ordnung eines 
Systems von Elementen, welche so beschaffen ist, dass das Product aus ihrem Hauptdiagonalgliede und 
dem Hauptdiagonalgliede einer bestimmten anderen Unterdeterminante rter Ordnung ein Glied der Determi¬ 
nante des Elementensystems ist, die Adjuncte der letzteren, so erhält man durch das eben angewandte Ver¬ 
fahren bei Einführung einer leicht verständlichen Bezeichnung auch die folgende Relation: 
