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Leopold Gegenbauer. 
\c. . 
1 = 1, 
\ Hy Hy 
■! Hp— 2 1 1 
wo: 
» •/ - l.adj. la, . . L , . 
H }H • ■ j * 2p —2 I \ Jlf fjp Uh f Hf ^ '^2p-~2 — ^ 1; ^ 2? • 
=Xj, X 2 ,.. V M 
II 
o 
H 1 G ) • * 
V * 2p — 2 
s'., . , 
_ 1 
H ,H,-' 
' •?* 2p-2 
i' ^ i . % i . i ^ i 1 
1 ~ ®’ 2 ^ iOH-l’ ’ p —1 ^ 2p — 2‘ 
p’ 2 
>H-l’ ‘ 
Wi’ 
2^- 
• r I 
2p —2 I 
ist, oder nach einem früheren Satze: 
|c. . . I = [r!F~^ adj. \a. . . L . 
I H> Hf-,Hp-i I I ■ -tjp l(»l> 2 ,. . .,«iil)i2>- ■ •>>=''1; ^2;- • -Gr) 
Man hat also schliesslich die Relation; 
h. , kn 
■ , kp 
[r!f 
\a. 
\ H> 
. ^adj.la 
fcj, fc 2 >- • •; ^p |(*i> ®iv■ •; h — Ij 2,...,n; k^, k^,.. .,kp —Xj, X 2 ,.. \r) 
Ist p ungerade, so hat man zu beachten, dass in der Determinante auf der linken Seite dieser Glei¬ 
chung die letzte Indexreihe die Reihe der festen Indices ist. 
Die letzte Gleichung liefert folgendes Theorem: 
Eine Unterdeterminante rter Ordnung des Systems der Adjuucte der Elemente ist gleich der Adjuncte 
der entsprechenden linterdeterminante des Systems der Elemente multiplicirt mit dem Producte aus 
und der (r—l)ten Potenz der Determinante des Elementensystems. 
Daraus folgt unmittelbar der Satz: 
Unterdeterminanten derselben Ordnung des Systems der Adjuncten der Elemente verhalten sich zu ein¬ 
ander, wie die Adjuncten der entsprechenden Unterdeterminanten des Systems der Elemente. 
Als specieller Fall mag noch das folgende Theorem erwähnt werden; 
Die Determinante des Systems der Adjuncten der rd’ Elemente ist gleich der (re—l)ten Potenz der Deter¬ 
minante des Elementensystems multiplicirt mit [(re— 
Für p = 2 erhält man bekannte Sätze aus der Theorie der quadratischen Determinanten. 
Da eine Determinante ungeraden Ranges ihr Zeichen nicht ändert, wenn man zwei der festen Indexreihe 
angehörige Indices in allen Gliedern mit einander vertauscht, so ist sie auch im Allgemeinen nicht Null, wenn 
für zwei oder mehrere feste Indices alle Elemente einander gleich werden, welche an den übrigen Stellen 
gleiche correspondirende Indices haben. 
Falls für alle festen Indices alle Elemente einander’gleich werden, welche an den übrigen Stellen die¬ 
selben correspondirenden Indices haben, ist bekanntlich die Determinante ungeraden Ranges {p) und reter 
Ordnung gleich der Determinante reter Ordnung vom Range ^ — 1, welche aus den re^'~^ verschiedenen Ele¬ 
menten gebildet werden kann, multiplicirt mit re!. 
Es soll nun ein allgemeiner Satz, der in Verbindung mit dem eben abgeleiteten Theoreme einige neue 
Sätze über Determinanten höheren Ranges liefern wird, abgeleitet werden. 
Es seien in einer Determinante ungeraden Ranges von der Ordnung: 
H; G'") ^p\dl} ^ 2 ,..., G — 2,.. ., n) 
alle Elemente einander gleich, in denen die festen Indices die Werthe 1, 2,...,r haben, und welehe an den 
übrigen Stellen gleiche correspondirende Indices besitzen, und dasselbe soll auch von allen entsprechenden 
Elementen gelten, in denen die festen Indices die Werthe r-i-1, r-i-2,..., w haben, so dass also: 
a. . , == 6. . 
? ^2? • • ■ j tp ^2; * • * ? V 
— C. . 
h r Hr---t^P *2; *3 V •) 
[*, = 1 , 2 ,...,r] 
[*j = r-i-1, r-v 2,.. . , re] 
Theilt man nun die Elemente Gruppen in der Art, dass die erste Gruppe alle jene 
Elemente enthält, in denen die festen Indices die Werthe 1, 2,..., r haben, die zweite Gruppe alle anderen 
Elemente, so ist: 
