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Zur Theorie der regulären Kettenbrücke. 
Umstande ihre Entstehung verdanken, dass einerseits zwischen drei aufeinanderfolgenden Kugelfiinctionen 
zweiter Art dieselbe lineare Relation besieht, wie zwischen den entsprechenden Kugelfunctionen erster Art, 
und dass anderseits beide Arten von Kugelfunclionen particuläre Integrale derselben linearen Differential¬ 
gleichung zweiter Ordnung sind. 
§• 1 . 
Die nach ganzen negativen Potenzen der Veränderliclien x fortschreitende Function f{x) möge sich in 
einen regulären Kettenbruch entwickeln lassen, dessen /r-ter Näherungszähler, Näheruugsnenucr und /c-te 
Restfunctiou beziehungsweise mit yi(a;), und/i(a;) bezeichnet werden soll. Da nach einer bekannlen 
bestimmenden Eigenschaft der NähernngsbrUche die Entwicklung der rationalen Function nach steigen¬ 
M^) 
1 
den Potenzen von -- mit der in derselben Weise fortschreitenden Entwicklung von f(x) bis zu den Gliedern 
von der Ordnung 2/£-|-l exlusive Ubereinstimmt, so ist 
+ • • • 
a) Die Function y(a;), welche innerhalb eines bestimmten Bereiches in eine nach den Näherungsnenner 
fortschreitende Reihe 
X=oo 
x=o 
entwickelbar sein möge, soll so beschaffen sein, dass in der Entwicklung des Productes <^>{x)f{x) nach 
steigenden Potenzen von die Glieder mit — — fehlen, während das Glied mit-r-n vorhanden ist. 
Da nun ’ ’ 
X = oo 
f{x)f(x)= f{x) 
X=0 
Ro -f- ii, yf + 
i(‘) 
(ä) 
+ 
7 n 4 - 
i H- ßi J^rn4 -1 + -^2 -4^ 
>2 1 • 
y»77l-f“l 
jfn+3 
•st, so muss nach der eben gemachten Voraussetzung 
Bo —Bi— . . . —Rm_i = 0 
B^^O 
Söin, und demnach hat man den Satz: 
Ist die innerhalb eines gewissen Bereiches nach den Näherungsuennern 'l)k(x) der reguläien Kettenbiuch- 
entwickluug der nach ganzen negativen Potenzen der veränderlichen x fortsclueiteuden Function f(x) ent¬ 
wickelbare I’unction f(x) so besebaffen, dass in der Entwicklung dos Productes f{x)f(x) die Glieder mit 
'x x^ •••) fehlen, während das Glied mit - vorhanden ist, so beginnt die Entwicklung von f(x) nach 
’ > X X 
Uäherungsnenuern \pk(x) mit fm(x). 
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