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1. ° Toda recta a , recíproca 
á su simétrica b , no tiene más 
que un solo punto recíproco á 
su simétrico; es el antipolo 
de b. 
2. ° Si m es una recta no re¬ 
cíproca á su simétrica m 0 , los 
pares, en número infinito, de 
puntos A , A r situados sobre 
m, y tales que uno de ellos A' 
sea recíproco y el otro A simé¬ 
trico^ respecto de un mismo 
punto A 0 de m 0 y formen in¬ 
volución, los puntos dobles, 
cuando existan, son recíprocos 
y simétricos. 
3. ° Si A o, A'son puntos re¬ 
cíprocos situados sobre un 
diámetro, escepcion hecha de 
las asíntotas, y si A es simé¬ 
trico respecto A 0 , cuando el 
último punto recorra el diáme¬ 
tro O A 0 ^ los pares de puntos 
A 0 A' y A' A forman respec¬ 
tivamente dos involuciones su¬ 
perpuestas que tienen el mismo 
centro O. 
4. ° Sobre una recta m , no 
recíproca á su simétrica, ó 
existen dos puntos recíprocos 
á sus simétricos, ó no hay 
ninguno. 
Por un punto A recíproco á 
su simétrico B no pasa más 
que una sola recta recíproca á 
su simétrica; que es la antipo¬ 
lar de B. 
Si Mj es un punto no recí¬ 
proco á su simétrico M 0 . los 
pares en número infinito de 
rectas a a’ concurrentes en M 0j) 
tales que una de ellas a\ sea 
recíproca á la otra a simétrica 
con relación á un mismo radio 
a 9 del haz M 0 , y formen invo¬ 
lución los elementos dobles, 
cuando existan, son rectas re¬ 
cíprocas y simétricas. 
Si a ü a' son rectas recípro¬ 
cas y paralelas esceptuando 
las direcciones asintóticas, y 
si a es simétrica de a Q cuando 
esta última recta se mueva 
paralelamente á si misma, los 
pares de rectas a 0 a' y a a' 
forman respectivamente dos 
involuciones superpuestas que 
tienen el mismo radio central 
que pasa por O. 
Por un punto M, no recípro¬ 
co á su simétrico, ó pasan dos 
rectas recíprocas á sus propias 
simétricas ó ninguna. 
