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1. ° Llamaremos % al conjunto de elementos M — puntos 
ó rectas—situados en el plano 2; ^ al de los elementos M f 
—puntos ó rectas — simétricas á las M; tt 2 al de los ele¬ 
mentos m 2 —rectas ó puntos— correspondientes en 2 á los 
M. Las figuras — sistemas planos — rc, y ^ son evidente¬ 
mente el uno la transformada homológica harmónica de la 
figura tu, siendo O y j^ el centro y eje de la homología; el 
otro la transformada antipolar de la misma figura w; en 
otros términos, el sistema plano % es homográfico — coli- 
neal—de r, v recíproco de tu 2 y se halla en involución con 
estos dos sistemas, por consecuencia á toda curva de % 
corresponden doblemente dos curvas, distintas en gene¬ 
ral, la una en la otra en tt 2 : la cónica central de 2 es la 
curva de tc con la cual \ienen á confundirse las dos curvas 
correspondientes de ^ y tu 2 . 
2. °—Si referimos uno al otro los dos planos superpues¬ 
tos tí, y ü 2 tomando como correspondientes dos elementos 
M, y m 2 que corresponden á un mismo elemento M de x — 
y que por consecuencia serán de naturaleza distinta—m 2 
será una recta ó un punto según que M 4 es un punto ó una 
recta; es fácil demostrar que forman un nuevo sistema 
polar 2 4 , que tiene igual centro y los mismos diámetros 
conjugados que el primero 2 ; y por consiguiente que la có¬ 
nica central de 2 es la directriz de 2 r 
V. 
ELEMENTOS QUE DETERMINAN UN SISTEMA POLAR. 
Fácilmente se demuestran las siguientes proposiciones y 
sus correlativas, cuyo enunciado se omite por abreviar, 
