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III. 
Los trabajos más notables de Euler acerca de la matemática pura, há- 
llanse condensados en dos obras que le elevan á una altura envidiable. 
La primera titúlase: 
Introductio in analysim infinitorum. 
La segunda denomínase: 
Institutions de calcul differentiel et integral. 
De la primera obra existe una traducción en francés, por J. B. Labez, 
compuesta de dos tomos; en el primero, estudia la variable y la función, 
dividiéndose ésta, en uniforme y multiforme, par é impar; á estas con¬ 
sideraciones generales siguen las transformaciones de funciones, siendo 
notable la série de ejemplos que se encuentran; empero donde empieza 
á tomar vuelo el espíritu de Euler, es al tratar del desarrollo de funcio¬ 
nes en séries infinitas ó recurrentes, según Moivre. 
De las funciones ordinarias, pasa á las compuestas de dos ó más va¬ 
riables independientes, llegando así á su gran desiderátum , esto es, á la 
función exponencial, base de sus principales investigaciones analíticas. El 
capítulo que trata de los factores trinomios, sírvele de base para alcanzar 
las célebres fórmulas que enlazan las funciones circulares con las expo¬ 
nenciales de variable imaginaria, y por ende, las funciones hiperbólicas, 
correspondientes á exponenciales de variable real, ó sea á funciones cir¬ 
culares de variable imaginaria; no satisfecho aun con el hallazgo de re¬ 
laciones tan bellas y sorprendentes, prosigue Euler sus investigaciones 
para obtener la sumación de series expresadas por un producto de dos 
factores: uno racional, y el otro formado por una potencia entera y po¬ 
sitiva de tu (*). 
De esta suerte se deducen valores de arcos y senos, y por ende la 
célebre fórmula de Wallis como una simple consecuencia, amén de fór¬ 
mulas nuevas pertenecientes á las funciones elípticas. 
(*) Las precitadas séries tienen la forma siguiente: 
1111 
'+-^T + -pr + +. ó 
1111 
' + "jjV H—4- ~7¡~^ L "yrr L 
siendo m par. 
