10 
Bod U jest tudíž bodem vratu křivky c á a přímka Qll co stopa oskulační 
roviny křivky: vratu, v bodu U jest příslušnou tečnou křivky c 4 v bodu 
vratu U. Poněvadž asymptotickou rovinou procházející přímkou woo plochy 
S 3 jest rovina nekonečně vzdálená, jest tato nekonečně vzdálená rovina 
oskulační rovinou v nekonečně vzdáleném bodě křivky vratu asymptotické 
plochy. Řídící kužel této plochy asymptotické jest patrně totožný s řídícím 
kuželem orthogonálným plochy S 9 . 
Z uvedeného seznáváme, že křivka vratu plochy asymptotické musí 
byti kubickou parabolou. Tudíž hledaná plocha asymptotická, jakožto 
rozvinutelná plocha tečen prostorové křivky 3. stupně, jest plochou 4 řádu 
a 3. třídy. 
Z obr. 4. jest patrno, že A 0 x R x n jest rovnoramenný, neboť Ó^M ~ 
— MR x a ^M±MR X ; jest tedy stále vzdálenost okamžitého středu 
otáčení ji od středu O x kružnice *£ rovná vzdálenosti bodu p od přímky r v 
Mapíňují tudíž všechny okamžité póly otáčení parabolu v ohnisku O x 
a řídící přímce r x . Označme ji ^^Poněvadž dále normála křivky c 4 v bodu ó 
jest totožná s přímkou ř8±pO x , seznáváme, že evoluta křivky jest 
totožná s křivkou, jíž obalí rameno pravého úhlu, jehož vrchol pohybuje 
se po parabole 2 p a jehož jedno rameno jde stále ohniskem O x této paraboly. 
J est tudíž evoluta k ™ k y totožná s negativní úpatnicí paraboly 2 p pro její 
ohnisko 0 X co půl. Touto křivkou jest však Tschirnhausen-ova 
křivka kubická náležející ku Newtonovým parabolám divergentním, i) 
Můžeme tedy křivku c 4 definovali též. co evolventu Tschirnhausenovy křivky 
kubické mající v bodu U bod vratu. 
Sestrojíme-li průměty povrchových přímek asymptotické plochy 
do ar směrem paprsků udaných spojnicí vrcholu řídícího kužele orthogonál- 
ného se středem kružnice, v níž protíná tento kužel průmětnu ar, promítne 
se patrné každá povrchová přímka této plochy co normála křivky c 4 . Tedy 
průmět křivky vratu asymptotické plochy pro tento směr šikmých paprsků 
jest totožný s evolutou křivky c 4 . Bod dotyku normály ku př. /Tď s touto 
evolutou cíli střed oskulační kružnice křivky c, v bodu i sestrojíme tudíž 
pomoojlastnosti právě uvedené, vedeme-li bodem w„ v němž průmět 
s > = N i povrchové přímky *s asymptotické plochy dotýká se obrysové 
paraboly 'p, kolmici ku ose této paraboly, jež protne normálu jid v hleda¬ 
ném středu křivosti », neboť bod dotyku w tečny křivky vratu v bodu w 
promítne se směrem výše uvedeným do bodu dotyčného normály ÍT5 
křivky c 4 s její evolutou \. 
Z konstrukce jednotlivých bodů křivky c 4 plyne přímo, že křivka c 4 
dotýká se tečny r x v bodech / a II majících od bodu L x vzdálenost r, značí-li r 
poloměr kružnice ^ a z konstrukce středů oskulačních kružnic v jednot- 
Dr. H. W i e i e i t n e r: Specielle ebene Kurven. 1908. n 54 T e i x e i r a* 
1. c. pag. 132. 
XIII. 
