přímce X = (mn) přímky sdružené v (m) a (n), které nechť se protnou 
v bodě *. Dále sestrojme v (m) dvojici E E x harmonickou ku X , (mx) 
a v (n) dvojici F F x harmonickou ku X, (nx). Průsečíky přímek E, F a 
E v F x stanoví přímku Y a průsečíky přímek E, F x a E v F přímku Z, při 
čemž jak 7 tak Z procházejí bodem *. Protíná-U nyní X přímky Y, 2 v bo¬ 
dech z,y, jest opět x y z společným polárním trojúhelníkem kuželoseček 
dotýkajících se A, B, C, D. Kružnice k opsaná trojúhelníku x v z obsahuje 
tedy střed hledané hyperboly. Půlící body tří úhlopříčen čtyřstranu tvoře¬ 
ného přímkami A, B, C, D leží na jedné přímce P, která obsahuje středy 
všech kuželoseček dotýkajících se A, B, C, D. Tato přímka jde zde tedy 
středem o úsečky mn a středy involucí, které vytínají (m), [n) společně 
na Y a Z. Vedeme-li tedy na př. bodem m rovnoběžku YkuYa sestrojíme 
v (m) paprsek Y" sdružený k Y', protíná Y" přímku Y v dalším bodě 
přímky P. Přímka P nechť protíná k v bodech s v s 2 . Vidíme, že naše úloha 
vede obecně ke dvěma hyperbolám rovnoosým. Obě mají xyz trojúhel¬ 
níkem polárním a středy jejich jsou s v resp. s 2 . Asymptoty, osy a ohniska 
každé z nich sestrojíme pak stejně jako v předchozí úloze. 
3. Budiž opět xyz společný polární trojúhelník kuželoseček svazku E. 
Opišme trojúhelníku * y z libovolnou kuželosečku k a uvažujme body 
sdružené ke svazku k bodům křivky k. Body ty vyplní jak známo přímku d. 
Poláry libovolného bodu p křivky k ke kuželosečkám svazku protínají 
se tedy v bodě p’ na č. Zvolme ve svazku E kuželosečky přecházející ve 
dvojice přímek. Přímky jedné z nich protínají se v bodě * a jsou dvojnými 
paprsky involuce, jejíž libovolnou dvojici obdržíme, spojíme-li bod z se 
sdruženými body p, p'. Tato involuce vytíná na k bodovou involud, jejíž 
pól z x musí ležeti na x y, ježto z x a z y tvoří též jednu dvojici této invo¬ 
luce. Tento bod z l náleží také již přímce d ; neboť myslíme-li si, že bod p na 
křivce k dostane se do polohy p 0 soumezné ku 2, jest z p a tečnou křivky k 
v bodě 2 a paprsek sdružený k této tečně vzhledem ke dvojici přímek 
svazku E jdoucích z jest z z x , kdežto poláry bodu p 0 jak pro dvojici příslušnou 
bodu x tak i dvojici příslušnou bodu y náležející svazku E splývají v mezích 
s přímkou xy. 
Z toho plyne pro případ uvažovaný v čl. 1., že přímka, která tam 
byla označena <?, jest onou přímkou, která odpovídá tímto způsobem 
kružnici k vzhledem ke svazku kuželoseček E proloženému body a, b, c, d, 
ježto zde involuce stanovící dvojice přímek svazku E byly přímo úlohou 
dány. Středu s hyperboly h jest sdružen ve svazku E průsečík přímky č 
s polámu bodu s ku h, tedy nekonečně vzdálený bod přímky d. Proto jsou 
paprsky, z nichž jeden 2 z 2 prochází nekonečně vzdáleným bodem přímky ů 
a druhý z s středem hypeboly h, harmonické ke dvojici přímek svazku E 
bodem 2; jde tedy skutečně z x bodem s. Přímky zmíněné dvojice přímek 
svazku E bodem z protínají k ještě ve dvou bodech a jejich spojnice Z x 
jest polárou bodu z x ke křivce k. Z toho plyne, ježto poláry bodů z x> y x> x x 
ke k protínají se v pólu přímky ů, následující vlastnost úplného čtyřrohu: 
l* 
XIV. 
