2 
Druhá věta, do jisté míry obecnější, zní: 
Nechť značí K libovolný konečný jednoduše souvislý' 
obor, vymezený v rovině komplexní proměnné z ; obor ten 
dá se vždy s libovolnou přesností ohraničiti uzavřenou 
regulární křivkou analytickou C. 
Funkce F (. z ) analytická v oboru K i na jeho hranici 
dá se rozvinouti v rozvoj tvaru 
F (z) = £A t . b k [z), 
kdež (z) jsou v oboru K jednoznačné funkce analytické, 
závislé na tvaru oboru K a naprosto nezávislé na funkci ’ " 
F [z). Funkcí tou jsou určovány jenom koefficienty A^. 
Pro jednu a touž funkci F (z) a jeden a týž obor Jí existuje 
neomezený počet takových rozvojů. Nejjednodušším z nich 
jest polynomický rozvoj Fáberův. 
Táž věta platí i pro každou funkci H (2) analytickou 
v oboru K lt doplňujícím K na celou rovinu, a na hranicích 
toho oboru. Nej jednodušším z rozvojů jest. zde rozvoj podle 
jistých racionálných funkcí veličiny z, majících jediný všem 
společný pól, obsažený v oboru K, 
Platnost těchto vět jest pak rozšířena i na obory mnohonásobně 
souvislé. 
Pojednání rozpadá se na tři oddíly. Oddíl označený I., obsahující 
důkaz věty [H), tvoří samostatný celek. V prvém paragrafu řešen jest pro 
danou parametrickou rovnici křivky C problém vnitřní a probrány po¬ 
drobněji rozvoje pro funkci analytickou uvnitř ellipšy, racionálných 
hypocykloid a néjjednodušší epicykloidy. V druhém paragrafu jest řešen 
podobný problém vnější a přihlédnuto blíže k ellipse a racionálným epi- 
cykloidám. Třetí paragraf obsahuje důkaz o neomezeném počtu rozvojů 
a ukázány jsou specielní jejich případy pro funkci analytickou uvnitř 
kružnice. 
Na popud prof. harvardské university Dra W. F. Osgooda byl pak 
proveden důkaz věty J. 1 ) 
Prof. Osgood upozornil totiž autora na svůj důkaz věty, která tvrdí, 
že každý obor jednoduše souvislý může býti s libovolnou přesností omezen 
jednoduchou uzavřenou křivkou analytickou. Tím bylo autorovi umožněno 
odvodili obecné výsledky, tvořící oddíl.II. a III. 
V prvním paragrafu oddílu II. poukázáno jest na důkaz pomocné 
věty Osgoodovy a náležen pomocí konformního zobrazení jistý rozvoj 
pro funkci F (z). 
!) Na příslušném místě jest podotčeno, že není vždy možno větu (H) pova¬ 
žovat! za zvláštní případ věty (/). 
XLI. 
