Paragraf druhý obsahuje důkaz o neomezeném počtu'rozvojů podob¬ 
ného typu pro funkci analytickou bud uvnitř nebo vně Gsgoodovy křivky. 
V paragrafu třetím poukázáno jest na nejjednodušší z nich a seznáno, 
že jest to pro vnitřní problém polynomický rozvoj Faberův a pro vnější 
problém jistý analogický rozvoj podle racionálných funkcí veličiny z . 
Pro Faberovy polynomu‘odvozeny jsou při tom vzorce rekurrentní, iden¬ 
tické s formulemi Newtonovými pro součet’n-tých mocnin všech kořenů 
algebraické rovnice. 
Odstavec III. konečně pojednává o rozvojích pro funkce analytické 
v oboru mnohonásobně souvislém. Rozvoje ty jsou pouhým důsledkem 
vyplývajícím z výsledků oddílu II. Jako příklad uveden jest nej jedno¬ 
dušší rozvoj pro funkci analytickou .uvnitř prstenu omezeného dvěma 
libovolnými uzavřenými křivkami analytickými. Rozvoj ten ■ tvoří se- 
všeobecnění Laurentovy řady pro prstenec kruhový. 
I. Obor jednoduše souvislý omezený racionálnou křivkou algebraickou. 
§ 1. Budiž C uzavřená racionálná křivka algebraická, která omezuje 
v rovině (x, y ) jednoduše souvislý a konečný obor K. 1 ) Souřadnice libovol¬ 
ného bodu křivky C lze vyjádřiti, jak dokázáno bylo v algebraické geo¬ 
metrii, pomocí dvou racionálných funkcí parametru r ve tvaru 
* = /iW. V = S i(*)> —oo^r^ + oo. 
Každé reálné hodnotě parametru v naznačeném intervallu (— oo, 
+ oo) odpovídá při tom jeden jediný bod křivky a i obráceně každému 
bodu křivky jedna jediná reálná hodnota parametru. 
Všeobecnost dalších úvah nijak se neporuší, budeme-li předpokládati, 
že po křivce C pohybujeme se v kladném směru otáčení tenkráte; když r 
probíhá reálné hodnoty od — oo přes 0 do -f oo. 
Zavedme místo v nový parametr tp rovnicí 
Probíhá-li nyní tp všechny hodnoty intervallu 0 až 2 sr, probíhá r 
hodnoty —oo až + oo. Rovnice křivky C obdrží tím tvar 
y = &(*í. --(i) 
kdež / 2 (w) a g 2 (u) jsou racionálně funkce veličiny u, které mohou obsaho- 
vati kromě reálných konstant také konstanty imaginární. 3 ) 
*) Příklady takových křivek jso.u kružnice, ellipsa., cissoidy bez dvojných 
bodů, astroida atd. 
*) N. př. pro kružnici x i + y* — a 2 obdržíme ' ~~~ 
e i<p + e— giy — e—iv 
, Tedy/,(«) = 
u '+1 
» Si («) - 
XLI. 
