10 
kdež p značí počet čísel fi splňujících nerovninu | 0 1 < 1. Protože pak 
jest podle (3) bud m < n, anebo m — n, jest búd m — n —■ 1 a pak jsou 
tedy všechna | fa | < 1, anebo m = n a tedy jen jediné 0 má absolutní 
hodnotu vetší než 1. 
V druhém tvaru rozvoje (5) odpadne část obsahující záporné mocniny 
čísel « a obdržíme tedy 
F(z) = 4+Jsd*.r*, .. (5a) 
kdež 
f* = « A * 4- «** +..•+ «»*• 
Rozeznávejme nyní dva případy, které jsme svrchu rozlišili. 
1. m = n — 1; všechna čísla 0 mají absolutní hodnotu menší než 
jedna. Polynomy g (|) ,a / (|) mají stupně n-tý a (n — l)-ný. Jest tedy 
g dl = b 0 i-- 1 + b x -f • • • + JV-i, 
/(D = iHc 1 rHc í ř-.U-+^.... 
Pak jest 
/ (I) -*g (I) = I” + (C,-B.í) I* - 1 i “*+••• + (Cn—Bn-il). 
s, jsou součty ft-tých mocnin všech kořenů rovnice / (|) — 2 g ({)-= 0. Jest 
tedy podle Newtonových rekurrentních formulí 
s # = «, Sl ^B 0 z-e v 
-f [C x — B 0 z) f*.i + (C 2 — B 1 z) s >-2 + ... 4- 
+ (C t -i-R i .-2^)si + ^(C ř -R*-i^) = 0 ) (*<*)■ 
s* + ((L - Bqz) s % — 1 + (C, — *) s*_*+...+ (C, ~ &-i. 2) s».7 = 0, 
(*>*)• 
Jest tedy s* polynom ft-tého stupně proměnné z. 
Tak obdrželi jsme polynomický rozvoj pro analytickou funkci F (z) 
obdobný rozvoji Faberovu. 1 ) 
V oddílu II. ukážeme, že takový rozvoj existuje pro každou regu¬ 
lární analytickou křivku C, uzavírající obor jednoduše souvislý. 
2. m = n\ polynomy g (i) a / (£) mají nyní tvar 
g(i) =B 0 Í* + Bj*-i-h.... + B„ 
/(Í)=l" + C 1 |"- 1 -K...+C* 
a tedy 
/(£)-*?(& =?(1-B b z)+ - B, z)+ ... + (C n — B n z). 
Zde dostáváme pro s* v rozvoji (5«) racionálně funkce lomené, 
vyplývající z rekurrentních formulí 
!) M. Faber, Ueber polynomische Entwickelungen (M. A. LYII., 1913, p. 389 
a LXIV., 1907, p. 118). 
XLI. 
