tedy analytickou pro všechny vnitřní i obvodové body křivky C. Dejme 
tomu, že dovedeme nyní sestrojiti nějaký rozvoj funkce F (z) platný pro 
všechny vnitřní body křivky C . Protože všechny body oboru K leží uvnitř 
křivky C, bude rozvoj jmenovaný platiti také pro všechny body oboru K, 
což právě bylo naším cílem. 
Celý problém se tedy redukuje na vyhledání rozvojů pro funkce 
analytické uvnitř a na obvodu regulární uzavřené křivky analytické C, 
omezující obor jednoduše souvislý. 
Vyjdeme ze známé věty o konformním zobrazování: Obor omezený 
křivkou C v rovině z dá se vzájemně jednoznačně a konformně zobraziti 
na obor omezený jednotkovou kružnicí v rovině £. Zobrazení toto jest 
také na hranicích vzájemně jednoznačné, spojité a konformní. 1 ) Zobrazení 
dáno jest funkcí 
* = /(», .. U) 
kdež / (£) jest funkce analytická uvnitř i na obvodu jednotkové kružnice. 
Ježto tato funkce jest analytická i na obvodě jednotkové kružnice, bude 
analytickou také v jistém po případě velmi úzkém proužku lemujícím 
zevně jednotkovou kružnici. Dá se tedy vždy sestrojiti kružnice soustředná 
s jednotkovou, jejíž poloměr jest o něco větší než jedna, která však přece 
probíhá úplně uvnitř onoho proužku. Z toho plyne, že / (£) lze rozvinouti 
v řadu 
/ (e> — « 0 +««ě + e 2 + « 3 e 3 +- - ..(2) 
jejíž poloměr konvergence jest o něco větší než jedna. 
Dosadíme-li nyní do rovnice (1) £ = e*r a separujeme-li na levo 
i na právo reálnou a imaginárnou část, obdržíme pro křivku C para¬ 
metrickou rovnici 
* = /,(**), y = t»A**h . ( 3 ) 
která ješt úplně analogická rovnici (1) v oddílu I. Můžeme tedy opět 
očekávati, že nás povede prostřednictvím Cauchy-ho integrálu k nějakému 
rozvoji pro funkci F (z) analytickou uvnitř a na obvodě křivky C. Pišme 
tedy 
: f (&**) a integrujme v mezích o < <p < 2 *. Tedy 
= . 
Všimněme si nyní funkce £ . /' (£) a funkce / (£) — s. Obě jsou patrně 
analytické pro všechna £ ležící uvnitř a na obvodě jednotkové kružnice. 
Položme si nyní otázku, pro které £ stává se rozdíl / (£) — z rovným nulle. 
*) Viz n. př. Osgocd 1. c. p. 682. 
XLI. 
