27 
§ 2. Funkce ty (r) jest analytická v okolí jednotkové kružnice 
roviny t. Značí-li totiž e největší z absolutních hodnot Čísel q, q 2 , • - • Q» 
a n největší z absolutních hodnot čísel p/, p 2 ',... q*', jest ty (t) analytické 
pro všechna x splňující nerovninu — > |r| >«?, to jest pro všechna t 
uzavřená v mezikruží, jehož jeden poloměr {ij) jest menší než jedna 
a druhý ^ větší než jedna. Dále víme, že £ definované rovnicí 
C =_*(*). fffl) 
probíhá ve své rovině jednotkovou kružnici, probíhá-li ji r ve své rovině. 
Protože pak ty ( t) jest spojitou funkcí v mezikruží shora definovaném, 
budou odpovídati bodům t, ležícím v okolí jednotkové kružnice, body £ 
ležící rovněž v okolí jednotkové kružnice. To znamená: 
Uzavřeme-li t do velmi úzkého mezikruží, v jehož vnitřku probíhá 
jednotková kružnice, budou všechna těmto r odpovídající £ = ty (*) 
vyplňovati jistý obor {k) v rovině £, jenž se dá opět celý uzavříti v jistém 
úzkém mezikruží, obsahujícím jednotkovou kružnici £. Je-li nyní G (£) 
funkce analytická v tomto mezikruží, jest jistě analytickou i v oboru (k). 
Protože pak funkce analytická jiné analytické funkce jest opět analytickou, 
jest G [ty (r)] analytickou funkcí veličiny v pro všechna v ležící v příslušném 
mezikruží. 
Mezikruží roviny £ může býti učiněno následkem spojitosti funkce 
ý ( r ) vhodnou volbou mezikruží x libovolně úzkým. Z toho vyplývá věta: 
Je-li G (£) funkce analytická v okolí všech bodů jednot- j 
kové kružnice roviny £, dá se vždy sestrojiti v rovině r mezi- ( 
kruží, obsahující uvnitř jednotkovou kružnici tak, že funkce J * 
G [ty (r)] jest analytická v tomto mezikruží. 
Z důvodů, které jsme podrobně vyložili v 3. paragrafu oddílu I., 
můžeme Cauchy-ho integrál pro funkci F {z) psáti ve tvaru 
F(z) 
= isrf FI '*-^ ] 
r (»*»)]. {t*f) 
d (»•*)■ (8) 
O funkci i®” 6 dokázali i 14 
dříve, že jest analytickou 
v jistém okolí jednotkové kružnice t Podle věty (E) jest tedy 
analytická funkce veličiny x v jistém okolí jednotkové kružnice roviny x. 
Rovněž funkce v. ty' (r) bude analytickou v jistém okolí jednotkové kruž¬ 
nice a to ve stejném jako ty(x). 
Okolí jednotkové kružnice příslušné funkci kombinováno 
s okolím příslušným funkci r. ty' (x) dává opět jisté okolí jednotkové 
kružnice v rovně t, v němž jest analytickou funkce 
XLI. 
