funkcí analytickou pro všechna z ležící uvnitř C. Z toho vyplývá, 1 ) žc 
bk (z) jest funkcí analytickou pro všechna z ležící uvnitř křivky C. 
Právě tak se dokáže, že také (12a) definuje funkci analytickou pro 
všechna z, ležící vně křivky C. 
Výsledek můžeme shrnouti ve větu: 
Funkce F (z) analytická všude uvnitř a na obvodě ’ 
uzavřené, regulární křivky analytické C dá se rozvinouti 
v rozvoj tvaru (10), kdež funkce 6* (z), analytické pro 
vnitřní body křivky C, jsou závislé jedině na tvaru této 
křivky, nikterak však na funkci F (2). 
Touto jsou určovány jen koeficienty A k . Rozvojů 
takových existuje pro jednu a touž funkci F (z) a pro jednu 
a touž křivku C neomezený počet. 
Podobná věta platí pro funkci H (z) analytickou 
všude vně i na obvodě křivky C. Příslušné funkce fo (z) jsou 
při tom určovány formálně stejnými vzorci jako shora. 
§ 3. Hleďme nyní určiti, který nej jednodušší tvar mohou pro danou 
křivku C přijmouti funkce bj, (2). Funkce ty definovány jsou rozvojem (9) 
nebo integrálem (9 a). Z obojího vidíme, že nej jednodušší tvar můžeme 
očekávati při volbě f (z) = t. Pak jest 
= .( 13 ) 
Z rovnice (1) víme, že každému t ležícímu uvnitř jednotkové kruž¬ 
nice odpovídá jisté z = / (*) ležící uvnitř křivky C v rovině z. 
V rovnici (13) vyskytující se rozdíl f {t)~ z bude tedy od nully 
různým pro všechna x splňující nerovninu z 1, pokud jen z představuje 
bod ležící vně křivky C. Z dřívějšího víme, že z /' (z) a rovněž / (z) — z 
jsou analytické funkce veličiny z, pro všechna z ležící uvnitř nebo na 
obvodě jednotkové kružnice. Z toho a z předešlého vyplývá, že jest pro 
táž z také analytickou funkce R (z); Laurentova řada (13) se tedy redukuje 
v tom případě na řadu Taylorovu, to jest 
tví:", . 
[žu*(z) = 0]. 
Položíme-li sem místo / (z) rozvoj (2), znásobíme-li obě strany rovnice 
rozdílem / (r) — z a porovnáme-li na obou stranách koefficienty stejných 
mocnin z, obdržíme pro 6* (z) rekurrentní formule: 
b 0 = 0 , 
b k . (a 0 — z) + oj + 2 a 2 +- d -b í . a*_ 1 — h . a* = 0-(15) 
*} Osgood 1. c. p. 307. 7. Satz. 
XLI. 
