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máticos, se emancipó la geometría de la que había sido un verdadero propulsor 
de su progreso, del álgebra, y partiendo de la sola correspondencia unívoca de 
las formas y de la aplicación de los principios de homografía y correlación de las 
figuras, se ha logrado en pocos años un desarrollo sorprendente de la geometría 
propiamente dicha, llamada proyectiva ó de la posición, por medio de la cual se 
llega con facilidad asombrosa á las más elevadas conclusiones, y de la combinación 
de las distintas formas se adivina un inmenso campo por explorar aún y á que no 
había podido llegarse con el análisis, apesar de la generalidad que introduce este 
en las verdades matemáticas. Gracias á un ilustre compatriota nuestro, el Doctor 
Torroja, España figura muy honrosamente en este vertiginoso adelanto de la 
ciencia geométrica. 
Pero, al emprender la geometría tan rápido y triunfante vuelo, quisieron los 
geómetras asegurarse cada vez más de la bondad y fijeza del sillar que les 
servia de base para levantar sobre el mismo tan gallardo edificio, y precisamente 
tres ilustres matemáticos, Gauss, Bolyai y Lobatschewsky, todos á principio del 
siglo xix y sin saberlo uno de otro, dedicaron sendas vigilias á depurar los prin¬ 
cipios en que Euclides había fundado su geometría y si bien nada pudieron obje¬ 
tar respecto de la generalidad, hubo uno, acerca del cual fué permitida la duda, 
y que apesar de que el célebre geómetra griego lo incluía entre sus axiomas, cre¬ 
yeron que sin demostración prévia no podía aceptarse, y desde aquel momento di¬ 
rigieron sus esfuerzos á indagar el resultado que daría su negación ó la acepta¬ 
ción de algún principio distinto que á su vez contradijera algún otro de los axio¬ 
mas que le servían de base 
El axioma xi del libro de Euclides que desde que empezó á germinar la duda 
acerca de su veracidad, ha venido llamándose Postulado, fija la necesidad de 
que se encuentren las prolongaciones de dos rectas, cuando al ser cortadas por 
una tercera se produzcan dos ángulos interiores y á un mismo lado de la secante, 
cuya suma sea menor que dos rectos. Gauss fué el primero que empezó á dudar 
de la necesidad de aceptar el principio contenido en la proposición que acabo de 
citar, si bien expresó su duda en otra forma. La veracidad del postulado de 
Euclides autoriza para fijar en dos rectos la suma de los ángulos de un triángulo 
rectilíneo, y precisamente en este punto estaba la duda de Gauss. En una de sus 
cartas á Bolyai manifiesta que si se pudiera demostrar la existencia posible de 
un triángulo rectilíneo cuya área fuese más grande que toda superficie dada 
quedaría demostrado con todo rigor el postulado de Euclides, pero que no siendo 
aquello posible no podía admitir como axioma tal concepto, sino que concebía 
posible la existencia de un triángulo que por distantes que estuvieran sus vérti¬ 
ces su área fuese siempre inferior á un límite dado. 
Juan Bolyai confirma el presentimiento de Gauss y dá una demostración 
analítica de la posibilidad de la existencia de tales triángulos. Lobatschewsky 
en 1826 abordó ya la duda con más franqueza y sienta el principio que: desde un 
punto exterior d una recta y en el mismo plano, pueden trazarse infinitas rec~ 
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