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tas que no encuentren d la primera, y de entre ellas distingue las dos que sepa¬ 
ran el haz de secantes de las no secantes y á dichas dos rectas les llama paralelas 
á la recta dada. Del desarrollo de la geometría fundada en esta hipótesis, nace el 
principio equivalente de que la suma de los ángulos de un triángulo rectilíneo es 
menor que dos rectos y constitúyese un cuerpo de doctrina de consecuencias no 
contradictorias entre sí, pero en abierta oposición á las que deducía Euclides. 
Y mientras aquella duda germinaba en los cerebros de los más ilustres matemá¬ 
ticos haciéndose esfuerzos por unos, como Lejendre, para demostrar el célebre 
postulado, y por otros para demostrar la posibilidad de la geometría llamada 
imaginaria por el mismo Lobatschewsky, aparece Riemann en 1867 con su con¬ 
cepción esférica del espacio y poniendo en duda para ciertos casos, que entre dos 
puntos puede sólo trazarse una recta, deduce la necesidad de aceptar, que desde 
un punto exterior no puede trazarse ninguna paralela á una recta dada, y como 
consecuencia encuentra que la suma de los ángulos de un triángulo rectilíneo 
debe ser mayor que dos rectos. Desde la última fecha antes citada, no han cesado 
de ocuparse en tan subjetivo tema muchos matemáticos y hasta filósofos, para 
decidir acerca del carácter especial que debía asignarse á cada una de las geo 
metrías mencionadas y á si existe ó no la posibilidad de aceptar otras distintas, 
acabando Poincarré por afirmar, llevado por un entusiasmo excesivo por los re¬ 
sultados obtenidos por medio del análisis, « qne no hay geometrías más ó menos 
verdaderas, sino qué sólo las hay más ó menos cómodas.» ' 
Es verdaderamente curioso el debate iniciado con tal objeto y constituyen 
los trabajos en el curso del mismo desarrollados una série de elucubraciones de 
suma conveniencia para la educación del espíritu matemático y que han dado 
lugar á multitud de incidencias de grande interés y también han arrojado abun¬ 
dante luz sobre determinados capítulos de la ciencia que sin esta propicia ocasión 
no se habrían conocido. 
A dar una suscinta reseña de estos trabajos, exponiendo luego mi humilde 
parecer respecto á tan debatido asunto, es á lo que voy á limitarme; pues lo creo 
punto de importancia capitalísima para el geómetra y sobre todo para el peda¬ 
gogo que tiene por misión difundir entre los demás las hermosas y sublimes ver¬ 
dades de la ciencia. 
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Con las solas nociones de la homogeneidad del espacio infinito, de la posible 
invariabilidad de una forma que tome distintas posiciones en el espacio y de las 
definiciones de recta, plano y ángulo tal y como las dió Euclides y se han acla¬ 
rado luego por Duhamel, puede el raciocinio humano demostrar las veinte y ocho 
primeras proposiciones del primer libro de Euclides, que se refieren á la teoría 
de ángulos adyacentes y opuestos, construcción de triángulos equiláteros, propie¬ 
dades del isósceles, determinacción de la perpendicular á una recta dada y otros 
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