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Pues bien, si amén de los cuatro primeros postulados se aceptan también los 
postulados 5.° y 6.° obtenemos la geometría euclidiana, que nosotros designare¬ 
mos con los epítetos de real y humana por ser la única que puede el hombre 
traducir en figuras. En ella la recta resulta prolongable indefinidamente; desde 
un punto exterior solo se puede trazar una paralela á una recta dada y en conse¬ 
cuencia sólo cabe considerar en ella un solo punto al infinito, siempre recordando 
la justa interpretación que á tal punto debe darse. La suma de los ángulos de un 
triángulo es igual á dos rectos. 
Si negamos el postulado 5. ü aceptando el 6.° resulta la geometría llamada de 
Lobatschewsky, imaginada al propio tiempo por Gauss y Bolyai pero sin que 
estos matemáticos hubieran formado de ella un verdadero cuerpo de doctrina. 
En ella la recta también es prolongable al infinito. Se admite que desde un punto 
de un plano pueden trazarse infinitas rectas que no corten á otra dada y en este 
supuesto debe existir á uno y otro lado de la perpendicular trazada á esta recta, 
desde aquel punto, dos rectas límites que separan las rectas que cortan de las que' 
no cortan á la primera. Cambia entonces la definición de paralelas y en lugar de 
considerar como tales á las que por más que se prolonguen no pueden encontrar 
á otra recta dada, se reserva para aquellas el nombre de no secantes y se llaman 
paralelas á las rectas límites que antes hemos citado. De modo que Lobatschewsky 
clasifica las rectas que pueden trazarse desde un punto exterior á una recta dada 
en tres géneros distintos: No secantes, en número infinito; secantes en número 
infinito también y dos rectas límites que llama paralelas y que son verdaderas 
asíntotas de la recta dada. En consecuencia, las posiciones relativas que dos 
rectas pueden guardar en un plano son en esta geometría tres: rectas que se 
cortan en un punto, rectas asintóticas, y rectas no secantes pero con una perpen¬ 
dicular común á partir de la cual divergen indefinidamente. La geometría fun¬ 
dada en estos principios considera en la recta dos puntos al infinito y la suma de 
los ángulos de un triángulo resulta ser menor que dos rectos. 
Si, conforme á Riemann, se niega el postulado sexto admitiendo excepciones 
para el primero que fija que por dos puntos solo puede pasar una recta, aceptando 
que dos rectas pueden limitar siempre un espacio finito, que equivale á decir que 
se cortan siempre en dos puntos, queda de hecho anulado el postulado 5.° pues las 
dos rectas, una perpendicular y otra oblicua á una tercera tendrán siempre un 
punto común prolongadas en un mismo sentido, y no cabe por tanto el trazado 
de paralela alguna á una recta dada. En esta geometría la recta no es prolon¬ 
gable indefinidamente, sino que tiene un límite finito, dos rectas en un plano solo 
pueden ser secantes, no tiene la recta ningún punto al infinito y la suma de los 
ángulos de un triángulo rectilíneo resulta ser mayor que dos rectos. 
A la geometría de Lobatschewsky se la ha llamado abstracta , reservando el 
de doblemente abstracta para la de Riemann. Estos nombres que por si solos ya 
indican que sus inventores no han tenido la pretensión de obtener geometrías 
propiamente tales, sino solo ficciones analíticas de nuestro espíritu, no los en- 
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