9 - 
y Saccherí. Si han de permanecer equidistantes, encontramos la necesidad de 
admitir para estos postulados el ángulo recto y por tanto también la de aceptar 
el postulado de Euclides. 
Al pretender Legendre demostrar que la suma de los ángulos de un trián¬ 
gulo rectilíneo era igual á dos rectos, creyó por este procedimiento demostrar 
indirectamente el postulado de Euclides, pero no resulta satisfactoria aquella 
demostración. En cambio lo es la que afirma que si en un triángulo la suma de 
los ángulos es igual, menor ó mayor que dos rectos, sucederá lo mismo en todos 
los demás triángulos y ella nos sirve como lema á la que dió Gauss de que la 
suma de los ángulos de un triángulo al ser mayor ó menor que tt, difiere tanto 
más de est valor cuanto mayores sean los lados del triángulo. Detengámonos un 
momento en las consecuencias que se deducen de tal teorema. Si á medida que 
crecen los lados de un triángulo rectilíneo en la geometría de Lobatschewsky va 
disminuyendo la suma de sus ángulos, desde su límite superior que es - k , cuando 
el triángulo es infinitamente pequeño, ¿Cuál debe ser el valor que tendrá dicha 
suma, cuando los lados del triángulo sean infinitamente grandes? Pues el valor 
cero que en este caso encontramos para dicha suma de cantidades todas del mismo 
signo nos indica que cada una de ellas debe ser cero y por tanto que han de ser 
sus lados tangentes en los vértices. Si aquellas fueran verdaderas rectas euclí- 
deas debe desaparecer el triángulo y tener la forma de tres rectas indefinidas 
que parten de un mismo punto, pero entonces desaparece el área del triángulo y 
como el déficit angular es proporcional á dicha área, si esta desaparece cuando 
dicho déficit angular es el máximo, resulta una flagrante contradicción. Hay que 
suponer forzosamente curvos los tales lados del triángulo, con un punto de retro¬ 
ceso de 1. a especie en cada vértice, pero ya desaparece entonces la idea de rectas 
tal y como las podemos nosotros concebir, que es de conformidad á la definición 
de Euclides no rechazada por los partidarios de las geometrías abstractas. 
Además, si bien se observa, desaparece la idea de semejanza de figuras en la 
geometría hiperbólica ó de Lobatschewsky pues dos triángulos con lados mayo¬ 
res uno que otro no podrán ser semejantes ó tener análoga forma ya que los án¬ 
gulos ó elementos determinativos de aquella tendrán que ser menores en el 
triángulo mayor. 
Igual observación cabe hacer respecto á la geometría elíptica ó de Rie- 
mann, pues la suma de los ángulos de un triángulo varia desde dos rectos cuando 
es infinitamente pequeño hasta seis rectos cuando los lados se ponen á continua¬ 
ción uno de otro, cosa solo posible en esta geometría. Otra observación cabe 
hacer aquí para ir preparando vuestro ánimo respecto al carácter de las geome¬ 
trías que estamos examinando: siendo verdadera, como lo es, la demostración 
dada por Lejendre de que la suma de los ángulos de un triángulo no puede exce¬ 
der de dos rectos, creían tener un valioso argumento los partidarios de la geo¬ 
metría de Lobatschewsky para afirmar que el mismo motivo había para acep¬ 
tar con Euclides que dicha suma valia Ti como aceptar la hipótesis de que fuera 
MEMORIAS.—TOMO V. 531 77 
