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menor que ir, aún dentro de la concepción de la recta y del plano euclideano, pero 
vino luego Riemann que con igual derecho sentó su hipótesis del aparalelismo y 
por tanto que aquella suma debe ser mayor que tc y quedó una vez más demos¬ 
trado que no podía referirse tal geometria á las rectas tal como las concibe el 
cerebro humano y que por tanto con igual derecho podía negarse la conclusión 
de Gauss. 
La ausencia de figuras semejantes en las dos geometrías imaginarias ó abs¬ 
tractas tiene una importancia grandísima para nuestra tésis pues no se concibe 
en ellas la representación gráfica de objeto alguno á mayor ó menor escala que 
el natural, ni sería posible el arte del dibujo, ni nuestra mente podría imaginar 
un objeto determinado desde el momento que este se supusiera cambiado en sus 
dimensiones absolutas. 
II. 
Para la deducción sucesiva de todas las propiedades métricas en cada una de 
las tres geometrías, se necesita hacer constante uso de las líneas llamadas equi¬ 
distantes de otro dada, y que no son más, como ya indica su nombre, que lugares 
geométricos de puntos cuyas distancias ortogonales á una línea dada son iguales. 
Lobatschewsky llama hipevciclos á tales líneas cuando son equidistantes de una 
recta dada y asi las califica porque toda recta que las encuentra en dos puntos 
forma en estos iguales ángulos con la línea expresada, y además las tangentes 
trazadas á la misma desde un punto exterior son de igual longitud, propiedades 
análogas á las de la circunferencia euclidiana. En la geometría de Riemann tal 
equidistante resulta ser una línea limitada como la recta, pero de menor longitud 
que esta y que va decreciendo á medida que la distancia aumenta hasta redu¬ 
cirse á cero cuando aquella distancia llega á ser la mitad de la máxima longitud 
que permite tener á la recta el parámetro respectivo que se adopte. 
Lobatschewsky considera luego una linea límite de una circunferencia, 
cuando el centro es á distancia indefinidamente grande y por tanto los rádios 
paralelos (entendiéndose este paralelismo en el sentido de la geometría hiperbó¬ 
lica) y encuentra entonces una curva también de propiedades análogas á la circun¬ 
ferencia euclidiana y á la que llama horiciclo. En la geometría elíptica no entra 
la consideración de tal línea porque no existe en ella recta alguna de indefinida 
longitud. 
Si bien se examina, se explica perfectamente la necesidad que tiene Lobats¬ 
chewsky de admitir tres clases de circunferencias: la propiamente tal ó sea lugar 
de puntos que distan igualmente de otro dado, y que determinan siempre tres 
puntos de un plano cuando las mediatrices de los lados del triángulo que forman 
se cortan en un punto; el hiperciclo que antes hemos ya descrito y que deter¬ 
minan tres puntos de un plano cuando dos de las mediatrices son divergentes, 
teniendo estas una perpendicular común de la cual resulta ser el hiperciclo una 
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