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línea equidistante y el horiciclo que determinan tres puntos de un plano cuando 
las mediatrices son paralelas y á la que llama curva límite. En la geometría 
euclideana, podemos considerar la circunferencia propiamente tal y la recta como 
límite de esta última cuando el radio es infinitamente grande. En la geometría 
de Riemann no existen pluralidad de especies circulares, pues sólo cabe conside¬ 
rar la circunferencia propiamente dicha, ya que resulta ser tal la equidistante de 
una recta ó sea el hiperciclo riemanniano. 
Y del mismo modo que Euclides haciendo girar á la circunferencia al rededor 
de uno cualquiera de sus diámetros engendra la esfera euclideana, Lobats- 
chewsky supone que gira el hiperciclo al rededor de su eje ó recta de la cual es 
equidistante y engendra la hiperesfera, asi como girando el horiciclo al rededor 
de uno cualquiera de sus ejes, que son sus normales paralelas, engendra la que 
llama Jioriesfeva. 
Valiéndose de la fórmula que encuentra para el ángulo de paralelismo en 
función de la distancia del punto en que se traza la paralela á la recta que le 
sirve de base, encuentra luego Lobatschewsky las fórmulas trigonométricas que 
resuelven sus triángulos rectilíneos, haciendo entrar en ellas en lugar de las 
magnitudes de sus lados, el valor de los ángulos de paralelismo correspondientes 
á cada uno de ellos y como en la función antes citada, que sirve de base para 
esta sustitución, hay un parámetro siempre mayor que cero, que no puede 
fijar sino la experiencia, resulta la posibilidad de tantas especies de geometrías, 
dentro la geometría hiperbólica, cuantos valores adoptemos para dicho pará¬ 
metro. Cuando aplica Lobatschewsky dicha trigonometría á los triángulos for¬ 
mados por horiciclos situados en una misma horiesfera se convierte en la tri¬ 
gonometría usual ú euclideana y obtiene para la suma de los ángulos de un 
triángulo el valor de dos rectos. Cuando aquel parámetro se hace infinito, la 
geometría hiperbólica se convierte también en la geometría usual. 
Es verdaderamente interesante el trabajo desarrollado por el sábio alemán 
en su tratado de Pangeometría y que llama asi por suponer que comprendiendo 
su geometría como caso particular á la de Euclides, merece un calificativo más 
general que esta última. 
Sin embargo, en dicha obra, no reconoce más que la existencia de dos 
geometrías, pues no había previsto la hipótesis que sentó luego Riemann de que 
podía también suponerse, y con igual derecho afirmarse, que desde un punto exte¬ 
rior á una recta no puede trazarse ninguna paralela á una recta dada. 
En la geometría de Riemann la distancia entre dos puntos tiene un límite 
máximo que depende también del parámetro que se adopte al sustituir la longitud 
de sus segmentos ó lados finitos por un valor angular determinado. Para cada 
valor de este parámetro es siempre constante la distancia que separa los dos 
puntos de intersección de dos rectas cualesquiera, á cuyos puntos se les llama 
opuestos. Todos los puntos de una recta distan á su vez igualmente de otros dos 
puntos situados en el mismo plano que aquella y que se llaman polos. 
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