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Ya se comprende que siendo por completo distintos los principios en que se 
funda esta geometría, no pueden encontrarse las fórmulas de la trigonometría 
plana por idénticos procedimientos que en la de Lobatschewsky pues no tenemos 
ángulo de paralelismo ni siquiera paralelas. Riemann las deduce de un modo 
semejante al que se sigue para hallar las de la trigonometría esférica, con las 
cuales tiene identidad de forma. 
Otros deducen las tres trigonometrías parabólica, hiperbólica, y elíptica por 
procedimientos puramente analíticos y partiendo de las fórmulas de la trigono¬ 
metría esférica euclideana, pero yo prefiero á todos, por su clarividencia y 
porque se funda en las propiedades que hemos encontrado para las dos perpen¬ 
diculares á una tercera recta, el procedimiento de Tilly, pues parte de un 
mismo principio para todas las geometrías cual es el del movimiento de un 
triángulo rectilíneo ABC rectángulo en A al rededor de uno de sus vértices C. 
La circunferencia descrita por el extremo del cateto b es igual al producto de la 
circunferencia descrita por el extremo de la hipotenusa a multiplicada por el 
seno del ángulo B , obteniendo 
(1) circ. b. = circ. a. sen. B. 
Del deslizamiento del mismo triángulo á lo largo del cateto b deduce que la 
relación entre la longitud de la equidistante que describe el vértice B situado 
á la distancia c del cateto b y la longitud descrita por el vértice C es igual á 
eos B . ., eos C . . 
"sen B ’ mo< ^° ^ ue se tiene: ec l ulc *- c = - ^ designando por equid. c á 
la relación entre dichas dos longitudes. (*) 
Busca luego una función que liga una circunferencia con una equidistante de 
distancia igual al radio de aquella y encuentra ser constante la relación 
circ. 2 x 
1 — equidAr 
á cuya constante llamándole M, obtiene 
circ. 2 x 
- 7 -- = M 
1 —equid. 1 x 
V circ ^ x 
i —_i_ 
M 
(*) Por el símbolo equid. x se entenderá siempre el cociente de dividir una longitud determinada 
de una porción de equidistante á una distancia x de una línea dada, por la longitud correspondiente de 
ésta. Es independiente de la mayor ó menor longitud que de la misma se considere. 
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