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Si nos fijamos en estas últimas igualdades, relativas á los triángulos rectángulos 
(y al decir rectángulos claro es que se aplica todo lo dicho á las fórmulas relati¬ 
vas á los triángulos oblicuángulos que son consecuencia fácil de las primeras) 
vemos que son las mismas que encontramos en la geometría esférica eucli- 
P 
deana, relativas áuna esfera cuyo radio valga R ó-> y si las comparamos con 
TU 
las de la trigonometría hiperbólica ó de Gauss, vemos que pueden deducirse éstas 
de aquéllas con sólo considerar imaginario el radio de la esfera en que se suponen 
trazadas las figuras, pues, si cambiamos en las últimas, R por R \J — 1, obtenemos 
b a 
sen - ■ — = sen_ _ sen B 
7? V — 1 7? V — 1 
eos 
eos 
7? V— 1 
b _ eos B 
R \J~ 1 sen C 
= cot B cot C = eos 
R V — 1 
X eos 
R \/ — l 
que como sabemos equivalen á 
- b - - a 
V — 1 sh ^ = V — 1 sh sen B 
R 
b eos B 
C 1 R sen C 
ch = cot B cot C — ch — 
R R 
ch 
R 
en que suprimiendo el factor común V—l de la primera aparecen exactamente 
las formulas de la trigonometría hiperbólica. 
Tanto unas como otras se reducen á las de la Trigonometría plana de Eu- 
clides cuando los lados del triángulo son indefinidamente pequeños ó el pará¬ 
metro P y por tanto el radio R es indefinidamente grande. 
En efecto: sabemos que 
, a a 1 a 3 
Sh R = R + 3! R> +" 
, a i 1 « 2 
Ch l? = 1 + 2!« i+ ' 
a a 1 a 3 
Se "í = R ~3l R> + ' 
a la 2 , 
cos _ = ~ 2\ R* 
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