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sen A sen B sen C 
y 
a b b 
cth — sh — = cth — eos C-j- sen C cot A. 
Observando que podríamos encontrar las fórmulas indicadas hasta aquí supo¬ 
niendo que operamos no en un plano, sino en una superficie de dos dimensiones 
que tenga la propiedad de ser aplicable sobre si misma como lo es aquel 3 ^ en 
que pudiera hacerse uso en las demostraciones del principio de la superposición 
de figuras iguales, como lo hacemos para el plano, tomando como á sinónimas de 
las rectas las líneas geodésicas de las respectivas superficies, hizo pensar á Bel- 
trami que asi como en las superficies esféricas existen entre los arcos de circun¬ 
ferencia máxima análogas relaciones que entre las rectas de la geometría elíptica, 
también pudiera haber superficies en que las líneas geodésicas satisfacieran 
á las leyes de la geometría hiperbólica. Y en efecto, aprovechando Bel- 
trami el hermoso principio de GaussYelativo á la curvatura total de las superfi¬ 
cies en un punto, de que dicha curvatura no cambia aunque se deforme la super¬ 
ficie supuesta flexible, sin distenderse, de manera que la distancia de dos puntos 
medida sobre un arco cualquiera trazado sobre la superficie permanezca constante 
y además y en consecuencia, que dos superficies cuyos puntos se correspondan de 
manera que la medida de la curvatura sea la misma en dos puntos correspon¬ 
dientes, son aplicables una sobre otra, dedujo que podrían tener propiedades 
análogas á la recta de un plano, las líneas geodésicas de aquellas superficies que 
tuvieran constante la curvatura en todos sus puntos, pues serian entonces aplica¬ 
bles entre sí todas las porciones de las mismas. 
La constancia de aquella curvatura para todos sus puntos la tienen la esfera 
y demás superficies llamadas esféricas por tener su curvatura constante 3 T posi¬ 
tiva como la de aquella figura; también satisfacen á esta condición la seudoesfera 
y demás superficies seudoesféricas de curvatura constante y negativa, y las de- 
sarrollables que por tener la curvatura cero son adaptables á un plano. 
Se admite en geometría plana euclidiana que dos rectas que tengan dos 
puntos comunes coinciden en toda su extensión, ó lo que es lo mismo que dos 
puntos determinan una recta. Mientras este principio resulte verdadero para las 
líneas geodésicas de superficies con curvatura constante, también lo serán todos 
los teoremas que en geometría plana se demuestran por medio de la simple super¬ 
posición de figuras y haciendo uso de aquella propiedad, que es el postulado F/an- 
MKMORIAS.—TOMO V. 539 78 
