- 18 - 
tes indicado; pero, en las superficies esféricas se nota una excepción y es que para 
ciertos pares de puntos (extremos de un diámetro) cesa de ser verdad aquel 
postulado y de ahí que ciertos teoremas de geometría plana no sean aceptables 
para la esférica. En las seudoesferas no hay tal excepción; se verifica en ellas 
el postulado VI pero en cambio no resulta verdadero el V y de ahí que sólo son 
aplicables á dichas superficies los teoremas que en nada dependan de este último. 
Beltrami demuestra que en la seudoesfera y demás superficies de curva¬ 
tura constante y negativa se pueden desde un punto trazar dos rectas asintóti- 
cas de otra dada (las paralelas de Lobatschewsky) y multitud de rectas no secan¬ 
tes. Encuentra también, como no podía ménos de suceder, que la suma de los 
ángulos de un triángulo formado por tres líneas geodésicas de una seudoesfera es 
menor que dos rectos y que el déficit angular es proporcional al área del trián¬ 
gulo que aquéllos forman. Estudia singularmente el prototipo de estas superficies, 
que es la seudoesfera engendrada por la revolución de una tractriz (evolvente de 
la catenaria) al rededor de la directriz de su evoluta, que es á su vez asíntota de 
dicha curva. En esta superficie, que es á las superficies de curvatura constante y 
negativa lo que la esfera es á las de curvatura constante )'positiva, encuentra Bel¬ 
trami las curvas imaginadas por Lobatschewsky para explicar su sistema de geo¬ 
metría, como son los horiciclos ó curvas de curvatura geodésica constante é igual 
1 
á la raíz cuadrada del valor absoluto de la curvatura total-de la superfi¬ 
cie de que forman parte. Halla también el hiperciclo ó curva equidistante de una 
geodésica dada y hasta demuestra que en toda superficie de tal género existe siem¬ 
pre un sistema de coordenadas curvilíneas que permite expresar poruña ecuación 
lineal las líneas geodésias en ella trazadas, y en una palabra, encuentra todas las 
fórmulas de la trigonometría relativa á los triángulos formados por líneas geo¬ 
désicas de las superficies seudoesféricas que resultan ser completamente iguales 
á las de la trigonometría esférica, en que el radio de la esfera se suponga imagi¬ 
nario. 
Queda con lo dicho probada la imposibilidad de demostrar el postulado 
de Euclides haciendo sólo uso del principio de la superposición de las figuras y 
también la de demostrar al postulado VI relativo á las rectas que pasan por dos 
puntos. 
Cree Beltrami y cree bien, que la diferencia que resulta entre las geometrías 
no euclideanas y la de Euclides, se debe á que en las primeras no tiene la super¬ 
ficie en que se explican la condición de inquebrantabilidad que tiene el plano ni 
tampoco la de poderse aplicar una porción sobre otra del mismo sin flexión 
alguna y con ó sin inversión. En las formas esféricas, en cambio, encontramos 
todas las propiedades de las rectas y triángulos de la geometría riemanniana, 
siempre que como tales se tomen respectivamente los arcos de circunferencia 
máxima y los triángulos esféricos. 
Son realmente notables los trabajos realizados por Beltrami para interpretar 
540 
