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las geometrías de Lobatschewsky y Riemann en las superficies seudoesféricas y 
esféricas respectivamente, pero esta interpretación nada resuelve respecto á la 
realidad de estas geometrías, ni tampoco legítima la existencia de las mismas, 
pues ya se comprende que siendo el espacio que imaginamos de tres dimensiones, 
no nos dice nada la interpretación de una geometría en un espacio que tenga solo 
dos. Y que esto es asi lo demuestra la imposibidad que existe de constituir una 
estereométria ó geometría del espacio fundada en aquellas nociones. ¿Cómo ima¬ 
ginar por ejemplo que en la geometría riemanniana pudieran pasar infinitos pla¬ 
nos por una recta que en este caso sería una circunferencia máxima de una cierta 
esfera y cada uno de los puntos arbitrarios que tomáramos en el espacio? Aquellos 
planos deberían ser esferas de diferentes radios, y aquella circunferencia tendría 
que ser una circunferencia máxima común á todas ellas. 
Desde el momento que se razona y se opera con la geometría de Lobats¬ 
chewsky ó la de Riemann hay que prescindir de la representación gráfica que 
nuestro cerebro tiende siempre á verificar, y de ningún modo pueden equipa¬ 
rarse las rectas, los planos y las esferas de Lobatschewsky ó de Riemann con la 
recta, el plano y la esfera euclidiana, por que hay que tener siempre presente que 
aquellos son una ficción analítica que solo llega á ser verdadera para espacios 
con parámetros no finitos, pues entonces ya sabemos que nos conduce á la geome¬ 
tría usual, pero que jamás se pueden equiparar con las formas que nos permite con¬ 
cebir esta última. El plano en la geometría de Lobatschewsky no es una seudo- 
esfera en el sentido euclideano, ni una esfera euclideana es el plano de la geometría 
riemanniana. La recta será si se quiere la línea geodésica de aquellos planos ó 
seudoplanos pero ni estos ni aquellos son imaginables. Dentro de la geometría 
de Lobatschewsky ó de Riemann pueden encontrarse también ecuaciones analí¬ 
ticas de superficies ficticias, también con curvatura constante positiva ó negativa. 
Lobatschewsky al inventar su geometría no la limitó ya á la geometría 
plana, sino que sentó también el postulado homólogo del V para el espacio 
diciendo que desde un punto exterior á un plano pueden trazarse varios planos 
que no corten á aquel, y dos de paralelos 6 asintóticos , y el homologo del VI afir¬ 
mando que dos planos solo podían cortarse según una recta. En cambio los ho¬ 
mólogos de Riemann son que por un punto exterior á un plano no puede trazar¬ 
se ninguno de paralelo y que dos planos se cortan siempre según dos 
rectas. 
La posibilidad analítica de las tres geometrías la ha demostrado Tilly par¬ 
tiendo de la relación encontrada por Lagrange en 1773 entre las diez distancias 
de cinco puntos del espacio euclideano y de la que Shering adivinó para la 
geometría no euclideana 
Parte Tilly de la circunstancia de ser cinco el número mínimo de puntos 
que, en un espacio de tres dimensiones, no tienen arbitrarias todas sus distan¬ 
cias relativas, pues de las diez distancias que pueden considerarse hay una que 
debe ser función de las nueve restantes y en este sentido, si designamos por (12) 
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