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suponiendo ser m y n los dos puntos dados, mn la distancia entre los mismos y K 
un factor constante que se hace igual á la unidad si se suponen referidos á coor¬ 
denadas rectangulares. 
La de Shering conduce á, las geometrías abstractas tomando para dicha función 
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la forma eos —para el caso de la geometría de Riemann y ch —para el 
R 
R 
de la de Lobatschewsky siendo R la constante ó parámetro de las respectivas 
geometrías. 
Mansión siguiendo un procedimiento inverso al de Tilly y fundado en los 
principios fundamentales de ambas geometrías deduce las dos ecuaciones de La- 
grange y Shering. 
Y ahora cabe preguntar: ¿Convence el procedimiento explicado respecto de 
la existencia real de las tres geometrías? Creo que no hay necesidad de ahondar 
mucho para convenceros de que es una ficción puramente analítica todo lo que 
hemos explicado. 
Comienza Tilly por partir de la noción de distancia entre dos puntos y de 
ella pasa á la definición de la recta dada ya por Cauchy diciendo que es aquella 
en que si se consideran tres puntos A B, C, no hay otro punto que pueda distar de 
Ay B, lo mismo que dista C. De modo que para definir y explicar la noción de 
la línea recta ha de acudir á una noción más difícil de comprender, que es la de 
distancia. Toda noción de distancia exije, como dice Dauge, la noción de medida, 
y esta supone las de igualdad y suma de medidas, y estas últimas no pueden 
comprenderse sin conocer antes la naturaleza de la línea ó forma de una sola 
dimensión á que nos referimos; y que este escollo es infranqueable lo dice la 
misma geometría no euclideana al afirmar sus entusiastas partidarios con per¬ 
fecto fundamento, y muy acertadamente por cierto, que las líneas rectas de 
las geometrías abstracta y doblemente abstracta no son las rectas de Euclides 
por nosotros conocidas é imaginadas. Prescindiendo aun de la interpretación de 
Beltrami, en que las rectas son las lineas geodésicas de las superficies esféricas y 
seudoesféricas y en que no resultaría exacta la definición de recta antes enun¬ 
ciada, tampoco podemos aceptar que una noción tan objetiva como lo es la de dis¬ 
tancia pase sin explicar para servir precisamente de base á una ciencia que como 
la geometría, ha de ser imaginable, si queremos concederle una existencia real. 
III. 
Explicado el origen de donde se derivan y la posible ó lógica existencia de 
tres sistemas distintos de geometría, veamos ahora si son todos ellos concebibles 
por nuestro cerebro y por tanto aplicables en sus consecuencias. 
Si nos detenemos á estudiar el carácter de la recta, del plano y de la esfera 
en cada uno de lastres geométrías de que nos estamos ocupando, echamos de ver 
enseguida que solo son imaginables aquellos elementos geométricos dentro de la 
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