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geometría euclideana y que dejan de serlo en las otras dos geometrías, sin que 
puedan equipararse nunca las formas de las tres geometrías que llevan un mismo 
nombre, pues el que resulte que las líneas geodésicas de la esfera y de la seudo- 
esfera euclideanas se comporten análogamente que las rectas de las geometrías 
doblemente abstracta y abstracta no autoriza á equiparar á estas con aquellas; 
así por ejemplo, la esfera enclideana, como tal, tiene un solo centro, del cual dis-, 
tan igualmente todos sus puntos, contando estas distancias según rectas euclidea¬ 
nas, al paso que el plano riemanniano con quien ha querido equipararse aquella, 
tiene dos centros de los cuales distan igualmente todos sus puntos pero contando 
estas distancias según rectas riemannianas. Lo mismo podemos decir de las seu- 
doesferas: estas no son aplicables con inversión unas sobre otras de igual curvatu¬ 
ra sin verificar una flexión de su superficie, siendo así que el plano de Lo- 
batschewsky como plano que es, se supone ser y es aplicable con y sin inversión 
sobre sí mismo sin verificar flexión de ningún género. Además, tres puntos 
determinan siempre un plano de Lobatschewsky óRiemann, mientras que por tres 
puntos, pueden pasar infinitas esferas ó seudoesferas euclideanas. 
Mansión esplica la diversidad en la naturaleza íntima de estas formas por 
medio de los espacios de tres dimensiones que pueden contenerse en otro hiper 
espacio de cuatro dimensiones, demostrando que según aquellos espacios sean de 
curvatura constante negativa, positiva ó nula, estamos en las tres geometrías 
hiperbólica, elíptica ó parabólica, tomando la palabra curvatura de un espacio 
en sentido análogo al que dió Gauss para la curvatura de la superficies, aunque 
más generalizado, y dentro del desarrollo analítico de la respectiva geometría se 
encuentran y demuestran las propiedades distintas que han de tener las formas 
representativas de análogas ecuaciones En cada una hay sus rectas, planos, es¬ 
feras, seudoesferas que no es posible confundir ni comparar, pues se refieren á 
espacios completamente distintos. 
Otra manera de interpretar estas formas geométricas es la que se funda en 
el procedimiento que para explicar y deducir la posible existencia matemática de 
las tres geometrías dá Klein fundado en los principios de la geometría de la po¬ 
sición é inspirado en sus procedimientos relativos á la determinación métrica de 
las formas, por los trabajos iniciados ya por Cayley en 1859. Parte del estableci¬ 
miento de una superficie de segundo orden fundamental de referencia; establece 
una métrica proyectiva especial, entendiendo por distancia entre dos puntos el 
producto de una constante arbitraria por el logaritmo de la relación anarmónica 
existente entre dichos dos puntos y los de la intersección de la recta que determi¬ 
nan con aquella superficie fundamental. La noción de ángulo entre dos planos la 
obtiene por el producto de una constante arbitraria por el logaritmo de la relación 
anarmónica del haz formado por estos dos planos y los que pueden trazarse tan¬ 
gentes á dicha superficie desde la recta de intersección de aquéllos. 
No cabe hacer aquí objeciones análogas al procedimiento de Tilly por par¬ 
tir de la noción de distancias, pues lo que se toma como tal, no es la distancia en 
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