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sí misma, sino la relación anarmónica de distancias, ó mejor, la posición anarmóni¬ 
ca de puntos de una serie y de rayos de un haz, y como gracias á Staud puede esta 
relación tomarse como relación de situación, y puede llegarse á ella con ausencia 
de toda noción de medida, de ahí que pueda desarrollarse toda una geometría de 
la posición con completa independencia de la teoría de paralelas, y siendo por el 
contrario esta teoría consecuencia obligada de las hipótesis que acerca de la 
superficie de segundo orden de referencia se adopten. 
Y en efecto, según esta superficie de referencia ó absoluta que, podremos su¬ 
poner siempre que sea una esfera de radio infinito, sea real, imaginaria ó se 
reduzca á una cónica ó circunferencia imaginaria, como degeneración de aquélla 
obtenemos las geometrías hiperbólica, elíptica ó parabólica. 
Y al estudiar la línea de referencia que resulta situado en un plano cualquie¬ 
ra del respectivo sistema, se encuentra ser en la geometría hiperbólica una cónica 
ó circunferencia real al infinito, en la elíptica una cónica ó circunferencia imagi¬ 
naria al infinito y en la parabólica dos puntos imaginarios al infinito que deter¬ 
minan una recta doble al infinito pero real. Consecuencia de lo dicho es que 
en la primera geometría cabe considerar dos regiones distintas del espacio ó 
del plano, una comprendida ó limitada por la superficie de segundo orden real 
del infinito y otra exterior. Solo dentro de la primera, llamada de dominio in¬ 
terior, cabe establecer la métrica correspondiente de la geometría hiperbólica 
y se comprende muy bien que en este*sistema cabe considerar en un plano rectas 
que se corten dentro de aquel dominio y formen ángulos reales, otras que lo 
hagan en un punto de la cónica de referencia al infinito, en cuyo caso serán las 
paralelas que formarán un ángulo cero ó sean rectas asíntoticas y otras que lo 
hagan fuera del dominio interior, en cuyo caso tenemos las rectas que no se cor¬ 
tan en dicho dominio, que tienen una perpendicular común y que si se cortan, lo 
hacen después de haber atravesado la curva de referencia del infinito. 
En la geometría elíptica es imaginaria la superficie de segundo orden al infi¬ 
nito, una recta real no puede tener con ella punto alguno común y solo cabe con¬ 
cebir finitas todas las rectas. En la geometría parabólica existiendo en todo 
plano solo dos puntos imaginarios que determinan una recta real al infinito, 
claro es que toda recta solo puede tener un punto al infinito y que dos rectas que 
corten á ella en un mismo punto, deben formar un ángulo cero. Cuando las cons¬ 
tantes porque hemos dicho debían multiplicarse los logaritmos de las relaciones 
anarmónicas se hacen indefinidamente grandes, se encuentra siempre la métrica 
parabólica ó de Euolides. 
Fundado en tales principios ha tratado Poincarré de dar una representación 
objetiva de las tres clases de métrica estudiadas por Cayley y aunque ha de acudir 
á una ficción geométrica explicada por medio de la geometría eudideana, que es 
la única que para nosotros tiene representación ó es imaginable, tiene la ven¬ 
taja de dejar demostrada la imposibilidad de ser demostrado el postulado de 
Euclides y de dar una idea clara y precisa de lo que serían respectivamente las 
tres geometrías si fueran las tres reales. 
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