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Cambia el concepto de espacio ilimitado por el comprendido dentro de una 
esfera que llama absoluta y que Klein hemos visto llamaba fundamental ó de re¬ 
ferencia, designando también aquel espacio con el nombre de dominio interior. 
Considera esferas ortogonales á la esfera absoluta y arcos de circunferencia or¬ 
togonales también á la misma, encuentra las relaciones de posición entre las por¬ 
ciones de esferas ortogonales comprendidas dentro de la absoluta, á las que 
llama falsos planos, las porciones de arcos normales interiores á que llama falsas 
rectas y los logaritmos de las relaciones anarmónicas entre dos puntos dados y 
los de intersección del arco normal que por ellos pasa con la esfera absoluta, y 
deduce del estudio y relativa posición de estos elementos que obedecen por com¬ 
pleto á las leyes de la geometría de Lobatschewsky, y de ello infiere que como 
todo teorema que se realice entre planos y rectas, tales y como nosotros los ima¬ 
ginamos puede traducirse en esferas y arcos normales con solo cambiar las pala¬ 
bras plano por falso plano, recta por falsa recta, espacio infinito por dominio 
interior , distancia por falsa distancia (el logaritmo de la relación anarmónica 
antes esplicada) é igualdad por congruencia (entendiendo por tal la relación de 
dos figuras inversas una de otra respecto de un falso plano), de ahí que no pueda 
concebirse una contradicción resultante de admitir que la recta de un plano y los 
planos del espacio obedecen á las leyes de Lobatschewsky porqué se traduciría 
en una contradicción en los resultados que se deducen de la posición relativa de es¬ 
feras y circunferencias normales á la esfera absoluta, tratados estos por los prin¬ 
cipios de la geometría Euclideana. 
Al suponer que el radio de la esfera absoluta sea imaginario, los falsos pla¬ 
nos ó porciones de esferas normales resultan ser esferas completas, desaparece 
el dominio interior, un falso plano y una falsa recta se encuentran siempre y así 
como cuando el radio de la esfera absoluta era real la suma de los ángulos de un 
triángulo formado por tres falsas rectas era siempre menor que dos rectos, aquí, 
en el caso de la esfera absoluta imaginaria dicha suma vale más de dos rectos, y 
dos falsas rectas se encuentran siempre que están en un mismo falso plano, en dos 
puntos antípodas ambos en el espacio riemanniano, mientras que antes, de los 
dos puntos de intersección, había solo uno en el dominio interior ó espacio de 
Lobatschewsky. 
Pero aquí permitidme una pequeña digresión: ¿No habíamos demostrado que 
la suma de los tres ángulos de un triángulo formado por tres rectas de un plano 
no podía exceder de dos rectos? ¿A qué se debe que en el espacio de Riemann 
dicha suma exceda de aquella cantidad? Pues encontramos la causa en que 
Euclides y Lobatschewsky admiten que por dos puntos puede solo pasar una 
recta y Riemann hace caso omiso de esta condición. 
Los sistemas geométricos descritos, claro es que variarán según varíe el 
radio real ó imaginario de la esfera absoluta, y habrá tantas especies de geome¬ 
trías dentro de cada género como valores le podamos dar á dicho radio (á cuyo 
cuadrado que será la potencia común á todas las esferas ortogonales respecto del 
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