- 25 
origen, le conocemos por parámetro de la respectiva geometría), que como es 
natural son en número indefinido. Cuando se considera como falso pianola esfera 
normal que pasa por el centro de la absoluta, entonces el falso plano, es plano 
euclideano, y trata así Poincarré de deducir la Geometría plana vulgar de la de 
Gauss, pero como no podía menos de suceder, siendo una simple ficción el siste¬ 
ma de esferas adoptado, encuentra que en dicho plano que pasa por el origen, 
las falsas rectas se convierten en arcos de círculo normal al máximo de la esfera 
absoluta cuya potencia es R 2 y solo son rectas propiamente tales las que pasan 
por el origen, cuya circunstancia confirma una vez más que las geometrías de 
Lobatschewsky y Riemann no pueden explicarse con rectas y planos propiamen¬ 
te dichos. 
Trata también Poincarré de deducir la geometría plana de Riemann de la 
euclideana esférica, proyectando estereográficamente una figura esférica colocada 
en una esfera de radio \/—i?, y lo que encuentra también es solo una geometría 
plana con arcos de círculo en lugar de rectas y luego fantaseando por medio del 
análisis, deduce lo de siempre, y es, que las fórmulas de la trigonometría esférica 
euclideana pueden tomarse como las de la trigonometría plana de Riemann, y 
que ellas se pueden transformar en las de Lobatschewsky cuando el radio de la 
esfera se hace imaginaria. 
Todo este hermosísimo trabajo de Poincarré no hace más que demostrar la 
imposibilidad de demostrar el postulado de Euclides, pero confirma una vez más 
si cabe, que las geometrías abstracta y doblemente abstracta, no pueden tener 
carácter real y que solo pueden explicarse en el campo analítico y de puro racio¬ 
cinio, pues el que no produzca resultados contradictorios entre sí, la admisión de 
uno ú otro postulado, no dá carácter de mayor realidad á una que á otra. 
Es como si nos propusiéramos formar una nueva astronomía, partiendo de 
una ley de atracción entre los cuerpos celestes distinta de la fundada en la hi¬ 
pótesis de Newton. Claro es que obtendríamos trayectorias distintas para el movi¬ 
miento de aquellos y que cambiaría por completo la posición relativa que ellos de¬ 
bieran guardar. Sería una astronomía racional, porque todas sus consecuencias 
serían perfectamente demostrables por medio del análisis y tendríamos tantas 
astronomías cuantas fueran las hipótesis que sentáramos acerca de aquella ley fí¬ 
sica de atracción de la materia; ¿pero autorizaría esta circunstancia para declarar 
que hay más de una astronomía real y conforme con las observaciones humanas? 
Pues lo mismo sucede en la geometría, si bien es más reducido el número de 
hipótesis á que hemos de acudir por el carácter más subjetivo de la ciencia mate¬ 
mática. Necesitamos fijar en geometría si dos rectas perpendiculares á una tercera 
se mantienen equidistantes, ó en caso contrario si van alejándose ó acercándose 
entre sí. Pues bien ¿si de admitir uno de estos tres conceptos, resultan cuerpos de 
doctrina diferentes, racionales los tres, y sin contradicción alguna dentro de cada 
uno, autoriza este simple hecho para hacer la afirmación de Poincarré de que no 
hay geometrías más ó menos verdaderas, sino sólo geometrías más ó menos 
547 79 
MEMORIAS.—TOMO V. 
