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cómodas? Yo creo que no. Para demostrarlo precindiremos de los trabajos publi¬ 
cados por Delbeuf tratando de obtener el desarrollo de la geometría euclideana 
sin el postulado de Euclides, fundándose solo en la homogeneidad de las figuras 
geométricas. Mencionaremos sólo las memorias de Bonnel, en que fundado en la 
existencia del indefinidamente pequeño y considerando á este como el átomo de 
las formas geométricas, trata también de demostrar la veracidad del mismo pos¬ 
tulado. Tampoco creemos necesario detallar los trabajos de Frolow acerca de 
la teoría de las paralelas, que por cierto dán bastante luz acerca de la necesidad 
de aceptar la equidistancia de dos perpendiculares á una tercera recta, y pre¬ 
ferimos emplear como argumentos, los mismos que nos ofrecen los partidarios de 
la posible existencia de las tres geometrías: 
Lobatschewsky mismo ya dice que su geometría podría existir, sino en la 
naturaleza, á lo menos en el análisis. El mismo matemático ya expresa que no 
creía en la necesidad absoluta de la hipótesis por él escogida para fundar su doc¬ 
trina y que por consiguiente no representaba aquélla nada de fijo é inmutable, 
pudiendo ser reemplazada por otras hipótesis del mismo género, que podrían 
conducir á otras ecuaciones distintas, y por tanto, á distintos sistemas de geome¬ 
tría. Tampoco Gauss creyó nunca que fuera imaginable el sistema de geometría 
que en su mente concibiera, según se deduce de las cartas dirigidas á W. Bolyai 
acerca del particular y una de las frases'que escribe es la de que la geometría de 
Lobatschewsky podría existir si la geometría de Euclides no fuera la verda¬ 
dera. Juan Bolyai en su memoria acerca de la ciencia absoluta del espacio, llegó 
á demostrar que si la hipótesis de Lobastchewsky fuera verdad podría encon¬ 
trarse una recta igual exactamente á un círculo, lo cual equivale á sentar el siguien¬ 
te dilema: O el axioma de Euclides es verdadero ó es posible la cuadratura 
del círculo. Argumento de un valor extraordinario y que de seguro no preve} 7 ó 
Bolyai, en contra de la existencia real de la geometría abstracta, pues con la 
demostración dada por Lindemann acerca de la trascendencia del número tc y por 
tanto de la imposibilidad absoluta de dicha cuadratura se ha venido á confirmar el 
carácter real y verdadero de la geometría Euclideana. 
Otro argumento contrario á la posibilidad de las geometrías abstractas es 
que el valor de un ángulo de un triángulo equilátero determina por sí solo al trián¬ 
gulo de que forma parte, pues el déficit angular es proporcional á su área. Este 
ha sido contestado en parte por Barbarin, diciendo que en la determinación de 
este triángulo ha de intervenir también el valor del parámetro de la geometría 
á que dicho triángulo se refiere, pero no queda el ánimo suficientemente conven¬ 
cido desde el momento que para determinar el parámetro, necesitamos medir 
los ángulos de un primer triángulo de la misma geometría ó el ángulo de parale¬ 
lismo relativo á una distancia dada. 
Barbarin aconseja dibujar sobre un plano lo más horizontal posible, un 
cuadrilátero trirectángulo con lados de un metro de longitud, midiendo el cuarto 
ángulo por medio de un círculo repetidor, sustituyendo el valor de este ángulo que 
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