28 - 
resultados no contradictorios y de conformidad á la hipótesis que se haya esta¬ 
blecido. Claro es que la racionalidad de estas geometrías no prejuzga absoluta¬ 
mente nada respecto á su realidad ó conformidad con el espacio físico en que el 
hombre vive, ni tampoco han de menoscabar en nada la importancia y veracidad 
de la que podremos llamar geometría humana , pero es preciso establecer tal 
diferencia para que nunca pueda confundirse lo que no es concebible, y por 
tanto imaginario, de lo que es concebible, y por tanto imaginable. Lo imaginario 
y lo imaginable, son dos conceptos esencialmente contradictorios. 
Hay que establecer bien la diferencia entre ellos, pues el raciocinio humano 
puede ir muy lejos por la sola imaginación, y en cambio la concepción en geome¬ 
tría no permite traspasar los límites de lo representable. 
Los tres estados de la razón para hacer geometría son tres: la observación, 
la imaginación y la concepción, y estas operaciones corresponden á los tres 
grados de conocimientos ya distinguidos por Platón y que Newton recuerda 
constantemente en sus Principios. 
La observación corresponde al procedimiento empírico por medio del cual 
deducimos una serie de verdades geométricas, sin darnos á veces cuenta de ello, 
por la experiencia repetida de unos mismos fenómenos. 
La imaginación corresponde al procedimiento matemático que permite 
deducir lógicas consecuencias de principios no siempre verdaderos y que están 
en desacuerdo con nuestro modo de concebir. 
Y la concepción que corresponde al principio filosófico que detiene muchas 
veces la vertiginosa marcha de la imaginación, cuando esta, por su carácter 
puramente abstracto, se halla expuesta á conducirnos á flagrantes errores. 
En este último caso nos hallamos cuando en los datos y soluciones de los 
problemas aparecen las nociones del cero y del infinito, (1) y en caso parecido 
nos encontramos cuando el geómetra enamorado de la fecundidad de ciertas hi¬ 
pótesis trata de deducir consecuencias reales, de lo que son solo elucubraciones 
de su espíritu. 
Es preciso que los tres factores entren por igual en el raciocinio humano, y 
cuando descuidamos alguno de ellos, vamos directamente al error. 
Y esto es lo que ha pasado con las geometrías racionales. 
Se quiso poner en duda el llamado Postulado de Euclides, á título de que no 
podía deducirse lógicamente de las quince proposiciones que sienta Lobats- 
chewsky como fundamentales de la geometría ó de las veinte y ocho que de Eu¬ 
clides pueden aceptarse sin acudir á aquel, y creyéndose con igual derecho que 
Euclides, sentó aquel célebre alemán su postulado respectivo. Trató, fundado en 
él, de deducir su geometría, pero la primera dificultad con que se encontró fué 
la imposibilidad no tan solo de representar gráficamente lo que su imaginación 
(1) Acerca de este punto tuvimos el gusto de dar unas conferencias en la Universidad de Barcelo¬ 
na, cuyo resúmen publicamos con el título de “Justa interpretación que debe darse al cero y al infinito 
matemático. “ 
550 
