— 29 - 
deducía y encontraba, sino que ni siquiera podía concebirlo. Necesitó admitir el 
horiciclo y la horiesfera, pero no pudiendo concebir estas formas en el espacio tal 
y como nosotros lo comprendernos, tratan los geómetras de su escuela de deducir 
su existencia de la del hiperespacio ó espacio de cuatro dimensiones, afirmando 
que así como encontramos en el espacio euclideano líneas varias de una dimensión 
y variadas superficies de dos dimensiones, con curvaturas constantes, así también 
pueden existir dentro del hiperespacio variados espacios de curvatura constante 
de tres dimensiones, délos cuales el euclideano no sea más que un caso particular. 
Muy interesante es en verdad el esfuerzo de imaginación que ha debido rea¬ 
lizarse para llegar á solución tan matemática, pero no podemos menos que 
tomarla como puramente imaginaria, porque le falta la aquiescencia de la concep¬ 
ción humana. Lo mismo Tilly, que Mansión, Klein y demás insignes matemáti¬ 
cos, han de acudir al análisis para todas las demostraciones relativas á la posible 
existencia de las tres geometrías, sin tener presente que el análisis es solo como 
un instrumento de precisión, que permite fotografiar una ley y deducir de ella 
consecuencias, pero para ello es preciso ante todo que la ley exista y no pueden 
nunca aceptarse en absoluto todas las soluciones que el resultado analítico de un 
problema pueda ofrecernos, sin asegurarnos de ser posible su interpretación. 
Afirman algunos que quizás nuestros sentidos se equivocan al creer que han 
de encontrarse dos rectas, una perpendicular y otra oblicua á una tercera y que 
nada podemos afirmar cuando el ángulo que formen entre sí, sea tan pequeño, 
que el punto de encuentro de aquéllas, se halle fuera de los límites de nuestra 
vista ó de nuestros medios materiales de comprobación. Observa Reid que el 
hombre reducido al simple sentido de la vista y no pudiendo conocer más que la 
superficie de dos dimensiones, tomaría por rectas los arcos de círculo máximo 
trazados en una superficie esférica de que su ojo fuera el centro, y que para aquel 
hombre el espacio sería riemanniano, pues vería por dos puntos opuestos pasar 
más de una recta. Imagina también Poincarré una esfera que limitara un medio 
cuyo índice de refracción y temperatura fueran variables, pero en que todos los ob¬ 
jetos tuvieran un mismo coficiente de dilatación. Supone luego que aquel medio 
de refracción y aquella temperatura absoluta variaran proporcionalmente á 
y á (R 2 — p *) siendo R el radio de la esfera y p la distancia del 
centro de ésta á un punto cualquiera del espacio que aquella limita; y suponiendo 
un sér inteligente que se encontrara en tal medio, deduce que para dicho sér, las 
dimensiones de los objetos móviles debieran parecerle siempre iguales, que la es¬ 
fera debería ser de radio infinito, pues los objetos á medida que se aproximaran á 
la periferíe, tendrían sus movimientos más lentos por efecto del enfriamiento que 
sufrirían, que las circunferencias ortogonales á la esfera le parecerían rectas, 
puesto que serían las trayectorias de los rayos luminosos, y por fin, que la suma 
de los ángulos de un triángulo formado por tres de estos círculos ortogonales 
sería menor que dos rectos. Para aquel sér inteligente; el espacio y la geometría 
serían las de Lobatschewsky. 
551 
