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Pero si consultamos á nuestro mundo físico tal como es, encontramos que 
el hombre además de la vista posee el tacto que le permite apreciar las tres di¬ 
mensiones de los objetos y deducir la existencia de las tres dimensiones que tiene 
el espacio que nos rodea, así mismo podemos comprobar que ni los coeficientes 
de refracción, ni las temperaturas varían de conformidad á la ficción de Poinca- 
rré, y que la dirección de un rayo luminoso al transmitirse por un medio de densi¬ 
dad uniforme, coincide perfectamente con el canto de una regla ó con un hilo 
puesto en tensión, y por tanto, no podemos aceptar que la recta no sea la que Eu- 
clides definió, ni el concepto del plano sea distinto del que nos dió el geómetra 
griego. 
Lobatschewsky creía solo en la existencia de dos geometrías, Riemann 
añadió otra al sentar su hipótesis y Klein ha encontrado dos distintas dentro de 
esta última que coinciden perfectamente con la doble hipótesis que puede estable¬ 
cerse acerca de la bilateralidad ó unilateralidad de las superficies de curvatura 
constante y positiva, Advertimos además que no es solo el Postulado de Euclides 
ó el que le sustituya, el que separa fundamentalmente tales geometrías, pues la 
de Riemann ha de negar también que por dos puntos pueda pasar siempre una 
sola recta y de que una recta pueda prolongarse indefinidamente, así como la 
geometría de Lobatschewsky en el espacio, ha de negar que un plano divide el 
espacio en dos regiones distintas y que para pasar de una á otra se necesita 
atravesarlo. ¿No es probable suponer pues, que con el adelanto progresivo del 
análisis, pueda mañana obtenerse otra geometría negando alguno de los principios 
que hoy tenemos como axiomáticos? Creemos perfectamente posible que tal cosa 
ocurra, pues ni nos convence Tilly con su teoría de que solo pueden ser tres las 
geometrías posibles como hemos tenido ya ocasión de indicar antes, ni tampoco 
las nociones de geometría de la posición, común á las tres geometrías que estable¬ 
ce Klein y de las cuales deduce también la posibilidad de una cuarta, pues hay 
excesivos datos convencionales que podrían cambiarse. 
En lo que no cabe duda alguna, es en que el mismo análisis nos demuestra 
que lo mismo la geometría de Riemann que la de Lobastschewsky, tienen por 
límite la geometría de Euclides cuando el parametro real ó imaginario de cada 
una de ellas se hace infinitamente grande, y que mientras las formas de estas dos 
geometrías son inconcebibles é imaginarias, las de la geometría de Euclides son 
perfectamente concebibles y representables. 
Claro es que cabe la duda de si las rectas que podemos trazar ó imaginar en 
nuestro espacio son en su indefinida longitud tales como las apreciamos en longi¬ 
tud finita. Cabe también dudar si los planos prolongados indefinidamente son 
tales como los imaginamos en sus porciones finitas, y por tanto si en sus indefi¬ 
nidas prolongaciones satisfarían á otras leyes, argumento el más fuerte en que 
se apoyan los antieuclideanos para convencer de la duda ó resquemor que debe 
quedar siempre en el ánimo del matemático acerca de cual geometría es la 
verdadera. 
Pues bien, yo creo que talas infundios desaparecen ausiliándonos de la filoso- 
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