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PRÓLOGO 
tancia entre dos puntos tiene un límite máximo; ó lo que es equivalente, que la 
recta es una línea cerrada, de longitud finita, se concibe la posibilidad de fundar 
sobre este principio una tercera geometría; y esto es lo que han hecho diversos 
matemáticos, desenvolviendo las ideas de Riemann. 
Como consecuencia de las investigaciones que dejamos expuestas, tres geo¬ 
metrías, que corresponden á otros tantos universos posibles, se presentan á nues¬ 
tro espíritu: una vulgar , euclídea ó parabólica , que es la clásica ó usual; y otras 
dos no-euclideas ó antieuclideanas: la hiperbólica ó pseudo-esférica, descu¬ 
bierta simultáneamente por Gauss, Bolyai y Lobatschewsky; y la elíptica ó esfé¬ 
rica , que es la ideada por Riemann. ¿Ahora bien, cuál de las tres es la verdadera? 
Ó, en otros términos, ¿cuál de las tres es la que corresponde al universo real? 
Problema es este que no puede ser resuelto por el simple raciocinio, porque, en 
cada geometría, sus propias leyes se armonizan, no se contradicen jamás; y, así, 
las tres son teóricamente incontrovertibles. Es, pues, necesario, para responder 
á la anterior pregunta, apelar á la experiencia como último recurso, es decir, 
comprobar, mediante la observación, si el universo real está de acuerdo con una 
de aquellas tres ciencias, y en desacuerdo con las otras dos. Se puede, por ejem¬ 
plo, teniendo presente que, para el triángulo, la suma de sus tres ángulos, 
constantemente igual á dos rectos en el supuesto euclídeo, es siempre menor en 
el de Gauss, y mayor en el de Riemann, decidir cuál de estos tres casos se veri¬ 
fica, midiendo directa ó indirectamente, con instrumentos de precisión, los tres 
ángulos de un triángulo cuyos vértices sean tres estaciones escogidas á voluntad. 
Para realizar este experimento, conviene valerse de un triángulo que sea lo mayor 
posible, porque, según las teorías no euclídeas, el área del triángulo es propor¬ 
cional á su exceso ó defecto angular, es decir, á la diferencia entre dos rectos y 
la suma de los tres ángulos; de lo cual se infiere que esta diferencia (si no es nula) 
será tanto mayor, y más fácil de apreciar con los instrumentos de medida, cuanto 
mayor sea la referida área. Pero, hasta hoy, en todos los triángulos observados, 
por grandes que sean, resulta que la suma de sus tres ángulos es sensiblemente 
igual á dos rectos; pues, aunque discrepe un poco de esta cantidad, la pequeña 
discrepancia es siempre atribuíble á lo imperfecto de los instrumentos de medida 
y á los errores inherentes á la observación. ¿Prueban estos resultados que las 
geometrías no-euclideas sean falsas? De ninguna manera: prueban tan sólo que, 
para todos los triángulos observados, la diferencia entre dos rectos y la suma de 
sus tres ángulos es nula ó muy pequeña; y que, en este último caso, la pequeñez 
se debe á no ser bastante grande el triángulo sometido á experimentación. Re¬ 
sulta, pues, que ninguna de las tres geometrías, teóricamente posibles, ha sido 
hasta hoy desmentida por la experiencia; y que, así, permanece ignorado cuál de 
las tres corresponde á la realidad. Sería, pues, injustificada preferencia inclinarse 
á favor de la Geometría vulgar, pues ésta, según la expresión de Poincaré, 
“podrá ser la más cómoda, pero no la más verdadera.“ 
De tan sorprendentes conclusiones, surge enseguida una reflexión: ¿Si el 
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