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PRÓLOGO 
Y con esto, queda manifestado que los grandiosos monumentos que, como 
rivales del edificio euclídeo, erigieron los genios de Bolyai, Lobatschewsky y 
Riemann, las admirables conquistas científicas que sancionó Gauss, es decir, el 
gran maestro de los tiempos modernos, y patrocinan hoy distinguidos matemá¬ 
ticos, tienen también sus contradictores. Pero todas sus objeciones son fácilmente 
refutables, pues se basan en la admisión de postulados tan discutibles ó más que 
el de Euclides, ó nacidas de un conocimiento falso ó incompleto de las teorías 
que combaten, pueden dirigirse, con igual apariencia de lógica, en contra de la 
Geometría clásica. 
A despecho de sus detractores, las geometrías no-euclídeas, avanzan glorio¬ 
samente, empujadas por una pléyade brillante de matemáticos partidarios de las 
nuevas doctrinas; y éstas se enriquecen de continuo con notables opúsculos, con 
valiosos descubrimientos. Pero estos trabajos, como obras de investigación, diri¬ 
gidas más bien á profesores que á principiantes, carecen de las explanaciones 
necesarias en toda obra destinada á la enseñanza, no se detienen ante dificultades 
analíticas, y suponen familiarizado al lector con el conocimiento de ciertas memo¬ 
rias clásicas, que, por hallarse agotadas, son de difícil adquisición; de todo lo cual 
resulta que las nuevas geometrías, aunque cuentan ya con una rica literatura, 
carecen de verdaderas obras didácticas; y, sobre todo, se nota la falta de un tra¬ 
tado elemental, en el que, sin apelar á grandes recursos de cálculo, se expongan 
las primeras nociones de la ciencia, haciéndolas así fácilmente asimilables, y pre¬ 
parando el acceso á las obras de los maestros. Ese vacío es el que pretende llenar 
el presente libro, el cual, como su título indica, no es otra cosa que un Tratado 
didáctico de las Geometrías no-enclideas , ó mejor dicho, de sus elementos, labor 
modesta, que no por serlo, deja de ofrecer serias dificultades, y que presento con 
la desconfianza consiguiente. Deseando colocar este Tratado al alcance del mayor 
número, he puesto principal empeño en limitar sus cálculos á los más sencillos, 
sin recurrir al manejo de integrales ni de otros poderosos instrumentos del aná¬ 
lisis. También he procurado exponer las diversas proposiciones en el orden más 
natural posible, y dar de ellas demostraciones expontáneas, rechazando, por con¬ 
siguiente, las que son artificiosas; pero, á pesar de mis propósitos, estoy bien 
convencido de que el andamiaje que propongo para la construcción de los edificios 
anti-euclídeos, no estará exento de objeciones. ¿Cómo no ha de estarlo, tratán¬ 
dose de un ensayo en que no he tenido modelos que imitar? ¿Si los elementos de 
la Geometría clásica, cultivados desde la antigüedad, tras incesantes reformas y 
perfeccionamientos, distan aún mucho de alcanzar una constitución irreprochable, 
qué ha de ocurrir con la nueva ciencia geométrica, que por ser de reciente crea¬ 
ción, apenas ha sido estudiada desde el punto de vista didáctico? No tengo, pués, 
la pretensión de haber acertado, y quedarán satisfechas mis aspiraciones, si, á 
pesar de todos sus defectos, puede este ensayo contribuir á la divulgación de las 
nuevas doctrinas. 
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