LEYES INDEPENDIENTES 
DEL 
Axioma XI de Euclides 
I.— Objeto de esta Introducción (a) . 
1. Este objeto no es otro que exponer las más elementales leyes geométri¬ 
cas, que, siendo verdaderas, independientemente de la verdad ó falsedad del 
Axioma XI de Euclides, y constituyendo, por lo tanto, un cuerpo de doctrina in¬ 
discutible, han de servirnos de fundamento para penetrar en el campo de la 
Geometría no-euclideana, denominada hiperbólica. En estas leyes, que colocamos 
en un orden lógico posible, hemos omitido, generalmente, las demostraciones, 
por ser bien conocidas, y sólo las conservamos para aquellas proposiciones que, 
no obstante ser independientes del Postulado euclídeo, suelen fundarlas en él los 
tratadistas, y también para aquellas otras que, por carecer de interés dentro de 
la Geometría vulgar, no figuran en los tratados de esta ciencia. El lector fami¬ 
liarizado con el estudio de los Elementos, comprobará fácilmente que todos los 
principios, incluidos en esta Introducción , son independientes del Postulado de 
Euclides. 
II. — Leyes fundamentales. 
2. Toda figura puede ser trasladada, sin deformación, del lugar que ocupa 
á otro lugar cualquiera del espacio. 
3. * Dos puntos determinan la posición de una recta. En otros términos: por 
dos puntos dados, siempre puede pasar una recta, y nada más que una. 
(a) Casi todas las leyes incluidas en esta Introducción son también verdaderas en la hipótesis 
de Riemann. Se exceptúan solamente las que van precedidas de uno ó dos asteriscos: las primeras 
son ciertas, en general (en dicha hipótesis), pero caen en defecto en ciertos casos particulares; las 
segundas, es decir, las que van precedidas de dos asteriscos, no se cumplen nunca, ó dejan de cum¬ 
plirse en infinidad de casos, cuando se admite la hipótesis riemana. 
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