LEYES INDEPENDIENTES DEL AXIOMA XI DE EUCLIDES 
15 
ejemplo, el NMA, en cuyo supuesto la proyección normal, P, de N sobre a, caerá 
sobre el lado MA (18-V); y si B es un punto de b, que está con A al mismo lado 
de MN, se podrá afirmar que BNP es un ángulo agudo. Pues bien, si la recta 
MN, girando en derredor de N, describe el ángulo PNM, formará con a y b, al 
mismo lado de MN, dos ángulos internos variables: el formado con a empieza 
por ser el ángulo agudo NMA, va siempre creciendo, y acaba por convertirse en 
el recto NPA; el formado con b empieza valiendo un recto (el BNM) y va siem¬ 
pre menguando; y de esto se infiere que, entre la infinidad de posiciones que 
adquiere la recta móvil NM, al girar en derredor de N, existe una, y solamente 
una, NC, en que son iguales los ángulos internos BNC y NCA. 
Pues bien, llévese en la dirección BN, ND = CM; y la recta MD formará 
con a y b, á un mismo lado de MD, dos ángulos internos iguales. Efectivamente, 
de la igualdad de los ángulos MCN, CND, y la de los lados CM, ND, resulta que 
el cuadrilátero MCND puede coincidir por inversión consigo mismo, de manera 
que C se situé en N; luego los ángulos en D y M de dicho cuadrilátero son igua¬ 
les, puesto que pueden coincidir. Tenemos, pues, establecido que por el punto M, 
pasa un secante x que forma con a y b, á un mismo lado de x , dos ángulos inter¬ 
nos iguales DMA y BDM. Esta secante x es única; porque, para otra cualquiera, 
ME, por ejemplo (en la que E se halla sobre la prolongación opuesta del rayo DB) 
será (18-1) BEM < BDM = DMA < EMA; y por consiguiente, BEM < EMA. Si E 
cayera sobre el rayo DB, un razonamiento análogo probaría que BEM > EMA. 
La proposición queda demostrada. 
V.—Algunas propiedades del cuadrilátero convexo- 
20. (Fig. 6). En el cuadrilátero convexo ABB'A', que tenga iguales los 
ángulos en A y A', se verifican las siguientes relaciones entre sus dos lados 
ABy A'B', y sus dos ángulos B y B': 
lf Si AB = A'B\ 
2. a Si AB < A'B', 
3. a Si B' = B, 
4. a Si B' < B, 
será B' = B; 
será B' < B; 
será AB = A'B'; 
será AB < A'B'. 
Demostración.-- 1. a (Fig. 6). Si A = A', y AB = A'B', el cuadrilátero 
convexo ABA'B' coincidirá consigo mismo, cuando se le coloque de manera que 
sentido; y el segmento rectilíneo, limitado por sus dos extremos. Un rayo rectilíneo lo designaremos 
por su extremo, y otro punto cualquiera del rayo (en este orden): así (fig. 2 ) la notación AB designa 
el rayo rectilíneo que empieza en A y se extiende indefinidamente en la dirección AB. De los dos 
rayos AB y AD, que componen la recta AD, diremos que tienen direcciones opuestas, y que cada uno 
es la prolongación opuesta del otro. 
29 
