LEYES INDEPENDIENTES DEL AXIOMA XI DE EUCLIDES 
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na correspondiente á la base, y la mediatriz de esta base (situada en el plano del 
triángulo) son una misma recta. 
27. El lugar de los puntos de una superficie plana, tales que cada uno equi¬ 
dista de los extremos de un segmento rectilíneo trazado en ella, es una mediatriz 
de dicho segmento. 
28. * Si, en un plano dado, una recta tiene dos puntos, tales que cada uno 
equidista de los extremos de un segmento rectilíneo, aquella recta es mediatriz 
de dicho segmento. 
29. (Fig. 9). Dos triángulos ABC y A'BC, que tengan una base común 
Fig. 9 
BC, y sobre una misma recta n los puntos medios D, E y D' de los tres lados 
AB, AC y A'B, tendrán sobre esta recta el punto medio del cuarto lado A'C. 
Demostración. —La recta n corta al segmento A'C, porque sus extremos 
A' y C están á distinto lado de 11 . Sean E' el punto de intersección, y AF, BG, 
CH, A'J las distancias de los cuatro vértices A, B, C, A' á la recta n. De la hipó¬ 
tesis, resulta que son iguales los triángulos rectángulos DBG y DAF, EAF y 
ECH, D'BG y D'A'J; é iguales, por consiguiente, los catetos homólogos en estos 
pares de triángulos; de manera que BG = AF, AF —CH, BG = A'J; luego 
CH = A'J. De esta igualdad y la de los ángulos en E', opuestos por el vértice, se 
sigue sucesivamente la de los triángulos rectángulos CHE' y A'JE', y la de sus 
hipotenusas E'C y E'A'; luego E' es el medio de A'C; luego el punto medio de 
A'C está sobre la recta n. 
30. En un ángulo cóncavo, el lugar de los puntos de su superficie, tales que 
cada uno equidista de los dos lados, es su rayo bisector. 
31. En el triángulo, las bisectrices de sus tres ángulos concurren en un mis¬ 
mo punto interior, el cual equidista de los tres lados. 
Vil-—Relaciones entre los tres lados de un triángulo. Aplicaciones. 
32. Un lado cualquiera de un triángulo es menor que la suma de los 
otros dos; y mayor que su diferencia. 
Por ejemplo (fig. 10), en el triángulo ABC, será BC<CA-j-AB y 
BC>CA —AB. 
MEMORIAS.—TOMO VII. 
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