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INTRODUCCION 
Demostración.— -Sea O el punto en que concurren las bisectrices de los án¬ 
gulos de este triángulo (31). Las 
respectivas proyecciones norma¬ 
les P, Q, R de este punto O sobre 
los tres lados BC, CA y AB, caen 
sobre estos lados; no sobre su pro¬ 
longación (18 — V), porque los án¬ 
gulos CBO, OCB, etc., son agudos, 
como mitades de ángulos cónca¬ 
vos. El punto O equidista de los 
tres lados (31), y de esto se infiere 
que son iguales los triángulos ORA 
y OQA, los ORB y OPB, y los 
OQC y OPC; y que, por consiguiente, AR = AQ, BR = BP, CQ = CP. Si de¬ 
signamos, pues, por a las distancias iguales AR y AQ, por 6 las BR y BP, y 
por y las CQ y CP, tendremos: 
BC = Y + ®<(T-P a ) + ( 6 4-«)=CA-t- AB, 
BC>y — 6 = ( y + « ) — ( 6 + «) = CA-AB; 
luego BC < CA + CB, y BC > CA — CB. 
33. * Un lado cualquiera de un polígono es menor que la suma de todos los 
otros lados. * El camino más corto entre dos puntos es la porción de recta que 
los une. 
34. * Toda línea convexa es menor que cualquiera otra línea que la en¬ 
vuelva. 
VIII.—Comparación de los lados de un triángulo 
con los dos ángulos opuestos. 
35. En el triángulo, á iguales ángulos se oponen iguales lados; al mayor de 
dos ángulos, se opone mayor lado; y viceversa. 
La demostración que Legendre da de estas proposiciones, fundada en que el 
triángulo isósceles puede coincidir consigo mismo por inversión y en que un lado 
de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, es admisible en las tres 
geometrías, parabólica, hiperbólica y elíptica. 
36. En todo triángulo, que tenga un ángulo recto ú obtuso, el lado opuesto 
á este ángulo es el mayor. 
37. * De todos ¡os segmentos rectilíneos que tienen un extremo común, y el 
otro sobre una recta dada, el segmento normal á dicha recta es el menor. 
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