LEYES INDEPENDIENTES DEL AXIOMA XI DE EUCLIDES 
19 
IX.—Triángulos con elementos comunes. 
38. * Si en un triángulo rectángulo la longitud de un cateto permanece in¬ 
variable, cuando crezca el otro cateto, crecerá la hipotenusa; y viceversa. 
39. Si en un triángulo las longitudes de dos lados permanecen constantes, 
cuando crezca el tercer lado, crecerá su ángulo opuesto; y viceversa. 
X.— Algunas propiedades del círculo- 
40. * En el círculo, los diámetros son mayores que las otras cuerdas. 
41. El diámetro normal á una cuerda de un círculo, biseca á esta cuerda y 
á los dos arcos por ella subtendidos. 
42. La tangente al círculo es normal al radio que va al punto de contacto. 
43. Una recta y una circunferencia no pueden cortarse en más de dos 
puntos. 
44. * La circunferencia del círculo es una línea curva. 
45. Las cuerdas iguales de un círculo (cuyos extremos no sean opuestos) 
subtienden iguales arcos menores que 180°, forman iguales ángulos agudos con la 
circunferencia, y equidistan del centro. 
46. Si un ángulo está circunscrito á un círculo, su vértice equidista de los 
puntos de contacto. 
47. Si dos circunferencias tienen un solo punto común, y están en un mismo 
plano, se tocan sobre la recta de los centros; si tienen dos puntos comunes sola¬ 
mente, se cortan; y si tienen tres puntos comunes, coinciden. 
48. * Una circunferencia y una recta, situadas en un mismo plano, tendrán 
2 puntos comunes, 1 solamente ó ninguno, según que la distancia de la recta al 
centro sea menor, igual ó mayor que el radio; y viceversa. 
49. * Si dos círculos de radios R y r (siendo R > r) están en un mismo pla¬ 
no, y la distancia de sus centros es d, serán mutuamente exteriores, si d > R -(- r; 
se tocarán externamente, si d — R r; se cortarán (sus circunferencias) en dos 
puntos, si d < R -j- r y d~> R—r; se tocarán internamente, si d = R — r; y 
el menor será interior al mayor, si d — r\ y viceversa. 
50. En todo triángulo, se puede inscribir un círculo. 
51. Si se divide la circunferencia en 3 ó más arcos iguales, las cuerdas 
correspondientes forman un polígono regular. 
XI. — De la normal al plano. 
52. Si una recta es normal en un mismo punto á otras dos de un plano a, 
también será normal á toda otra recta del plano a, que pase por dicho punto. 
33 
