LEYES INDEPENDIENTES DEL AXIOMA XI DE EUCLIDES 
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5. a Dos líneas simétricas equivalen en longitud; dos superficies simétricas 
tienen igual área; dos cuerpos simétricos tienen igual volumen. 
Las demostraciones que, de esta última propiedad, dan la mayoría de los 
tratadistas, sin excluir á Legendre, que la fundó en la existencia de la esfera 
circunscrita á un tetraedro cualquiera (c), exigen la admisión del Postulado; pero, 
sin necesidad de admitir esta hipótesis, puede establecerse la equivalencia de los 
cuerpos simétricos, por medio de la siguiente 
Demostración. —Los dos cuerpos simétricos pueden ser tetraedros, polie¬ 
dros cualesquiera, ó cuerpos terminados total ó parcialmente por superficies cur¬ 
vas. De aquí los tres casos siguientes. 
l.° (Fig. 14). Sean ABCD un tetraedro, I el centro de la esfera inscrita (74) 
y N la proyección normal de I sobre el plano BCD, la cual es fácil ver que caerá 
dentro de este triángulo. El te¬ 
traedro dado ABCD puede ser 
descompuesto en otros 4, que ten¬ 
gan por bases respectivas las caras 
de aquél, y por cúspide común el 
centro I de la esfera inscrita. 
La pirámide parcial IBCD 
puede, á su vez, ser descompuesta 
en otras tres, que tengan la misma 
cúspide I, y por bases respectivas 
los triángulos NBC, NCD, NDB. 
Efectuando análoga descomposi¬ 
ción á esta última sobre las otras 
tres pirámides IABC, IACD, IABD, 
cada una de ellas queda dividida en 3 
otras 3; y así, el tetraedro dado 
queda descompuesto en otros 12 . 
De estos 12 tetraedros parciales, cada uno es simétrico del que tiene con él 
una arista común del tetraedro total. 
Por ejemplo, si Q es la proyección normal de I sobre la cara ABC, serán si¬ 
métricos los dos tetraedros IBCN é IBCQ, respecto del plano BCI bisector del 
diedro ABCD. 
El cuerpo compuesto de estos dos tetraedros es un exaedro triangular 
QBCIN, que tiene un plano de simetría BCI. Resulta, pues, que con aquellos 12 
tetraedros, agrupándolos por parejas, podemos formar 6 exaedros simétricos en 
sí, que serán respectivamente iguales á sus simétricos (77-4. a ). Pues bien, dos te¬ 
traedros simétricos, tienen igual volumen, porque descomponiendo cada uno de 
ellos en los 6 exaedros simétricos en si, que hemos referido, resultarán las 6 par¬ 
tes del uno respectivamente superponibles á las 6 del otro. 
Fig. 14 
(c) Véase la Nota VII da los Éléments de Géométrie 4. a edición, de este autor. 
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