30 
GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
N NMX' de dos ángulos es siempre menor que dos rectos); luego si la distancia 
variable NX es arbitrariamente grande, ó de otro modo, si dicha distancia tiende 
hacia el infinito, el ángulo variable 
D_ _ NMX, tenderá hacia un valor límite 
NMA igual ó menor que el suplemento 
del ángulo N; luego también el rayo 
variable MX tiende hacia una posición 
límite MA. Ahora bien, los dos rayos 
MA, NB cumplen las siguientes condi¬ 
ciones: están en un mismo plano y á un 
Fig. 16 r J 
mismo lado de la recta MN; no se cor¬ 
tan, porque el ángulo límite NMA debe exceder á cualquier valor del ángulo 
variable NMX; y en fin, todo rayo MC interior al ángulo NMA corta al rayo 
NB, porque, si no lo cortara, el ángulo NMC, ú otro menor que él, sería el án¬ 
gulo límite, contra el supuesto de que lo es el NMA. Y puesto que se cum¬ 
plen todas estas condiciones, el rayo MA es paralelo al NB. Otro rayo cualquie¬ 
ra que pase por M, no es paralelo al NB; porque, si está dentro del ángulo 
NMA, corta á NB, y si está fuera (en MD por ejemplo) falta á la cuarta 
condición de paralelismo, puesto que el rayo MA interior al ángulo NMD no 
corta al NB. Luego por el punto M pasa un rayo MA paralelo al NB, y 
solamente uno. 
Observaciones.— 1. a De un rayo NB y su paralelo MA, se dice que se cortan 
en un punto infinitamente lejano, ó que tienen un punto común en el infinito, 
porque el rayo MA es la posición límite que adquiere el rayo variable MX, 
cuando la distancia MX se hace arbitrariamente grande. “Trazar un rayo recti¬ 
líneo MA, que empiece en el punto M y pase por el punto en el infinito del rayo 
NB“, significa lo mismo que esto otro: trazar por el punto M un rayo rectilíneo 
MA paralelo al NB. 
2. a (Fig. 17). El ángulo variable MXN decrece , cuando la distancia NX 
aumenta; y tiende hacia cero , cuando 
dicha distancia tiende hacia el infi¬ 
nito. 
Así, en el supuesto de ser NX, > 
NX, será MX,N < MXN, porque 
MXN (18-1) es ángulo externo del 
triángulo MXX,. Si, en la dirección 
NB, se toma X, X 2 = MX, , en el 
triángulo MX, X 2 serán iguales los 
ángulos M y X 2 señalados con un 
arco; y, por lo tanto, MX 2 N < X,MA; pero X,MA tiende hacia cero, 
cuando NX, crece arbitrariamente; luego también el ángulo MX 2 N tiende 
hacia cero. 
44 
