32 GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
B'N'M', BNM, y que N'M' tome la dirección de NM, coincidirá el punto M' con 
el M, y el rayo M'A' con el MA; porque, si así no fuera, por el punto M se po¬ 
drían dirigir dos rayos paralelos al NB, lo que es absurdo. 
105. Una recta y su paralela no se cortan. 
Demostración. —(Fig. 21). Suponga¬ 
mos que la recta CMA es paralela á la 
DNB, por ser el rayo MA paralelo al NB. 
Estos dos rayos no se cortan, por la defi¬ 
nición del paralelismo; sus prolongaciones 
opuestas MC, ND tampoco pueden cortar¬ 
se, porque la suma de los ángulos internos 
y, 8, que estas prolongaciones forman con 
la secante MN, es igual ó mayor que dos 
rectos, en atención á que la suma de sus adyacentes « y 6 es igual ó menor 
(104-1 y 18-IV). 
106. (Fig. 22). Si el extremo de un rayo rectilíneo NB, ó el de su paralelo 
MA, ó ambos á la ves, se trasladan á otro punto cualquiera dél mismo rayo , ó 
de su prolongación opuesta, el paralelismo subsiste. 
Demostración.— l.° (Fig. 22). Suponemos que MA es paralelo á NB, que 
P es un punto de NB, y Q un punto de su 
prolongación opuesta. Afirmamos que MA es 
paralelo á PB y á QB. Efectivamente, todo 
rayo interior al ángulo PMA, también es in¬ 
terior al NMA, y corta por lo tanto al rayo 
PB; luego (101) MA es paralelo á PB. Todo 
rayo interior al ángulo QMA, es interior al 
ángulo QMN ó al NMA, ó coincide con MN, 
y corta por lo tanto al lado QN del triángulo 
MQN ó al rayo NB; luego corta al rayo QB, y por consiguiente (101) es 
MA paralelo á QB. 
2.° (Fig. 23). Afirmamos que, si MA es paralelo á NB, y el,punto R 
está sobre MA, entre M y A, será RA 
paralelo á NB. Basta probar que todo 
rayo rectilíneo RC, interior al ángu¬ 
lo NRA, corta al rayo NB. Márquese 
sobre RC, y dentro de la faja BNRA, 
un punto C, y trácese la recta MC, 
la cual cortará en un punto D al lado 
NB, por ser MA paralelo á NB. Ahora 
bien, la recta RC corta al lado MD del triángulo NMD en un punto C dife¬ 
rente de M y D; luego debe cortar á otro lado del mismo triángulo; pero no 
puede cortar al MN, porque los vértices M y N están situados á una misma 
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