GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
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(Fig. 27). Si dos rayos MA, NB son paralelos, y están respectivamente si¬ 
tuados sobre dos planos secantes , serán paralelos á la intersección PC de di¬ 
chos planos. (*) 
Demostración.— La intersección de los dos planos se compone de dos rayos 
rectilíneos, uno de los cuales, que supondremos ser el PC, está con MA y NB á 
un mismo lado del plano MNP; y afirmamos que PC es paralelo á MA y NB. 
Como los dos rayos MA, PC están en un mismo plano, y á un mismo lado de la 
recta MP, basta para demostrar su paralelismo, probar que no se cortan, y que 
todo rayo PD interior al ángulo CPM corta al rayo 
MA. Pues bien, los rayos MA y PC no se cortan; 
porque, si se cortaran, el punto de intersección, por 
estar sobre MA y PC, pertenecería á los dos planos 
MANB, PCNB, y sería por lo tanto, un punto de su 
intersección NB; luego las rectas MA, NB se cor¬ 
tarían en dicho punto, y no serían paralelas, contra lo 
supuesto. Además, el plano NPD es interior al diedro 
CNPM; y corta, por lo tanto, al plano BNM según 
una recta NE interior al ángulo BNM; esta recta NE 
corta al rayo MA, porque NB es paralelo á MA; en 
fin, si F es el punto en que se cortan, como F está ála 
vez en los planos FMP y FNP, estará en la intersec¬ 
ción PD de ambos planos; luego la recta PD corta al rayo MA; luego PC es 
paralelo á MA. De igual modo se demostraría que también es paralelo á NB. 
109. (Fig. 27). Dos rayos MA, NB paralelos á un tercero PC, son parale¬ 
los entre si. 
Demostración.— l.° Si los tres rayos MA, NB, PC no están en un mismo 
plano, será MA paralelo á NB, porque (108) la intersección de los planos MAN 
PCN debe ser una recta que pase por N ) T sea paralela á los rayos MA y PC; y 
no puede ser otra, por consiguiente, que la recta NB paralela á PC por hipó¬ 
tesis. 
2.° Si los tres rayos l.° y 2.° paralelos á un 3.° están en un mismo plano, 
diríjase por un punto exterior á este plano un rayo x paralelo al 3.°; y entonces, 
por el primer caso, serán l.° y 2.° paralelos á x; y como l.° 2.° y x no están en 
un mismo plano, serán l.° y 2.° paralelos entre sí. 
Observación. —De que dos rectas sean paralelas á una tercera, no se dedu¬ 
ce que lo sean las dos primeras, más que en el caso de que el paralelismo se veri¬ 
fique en un mismo sentido (101). 
110. (Fig. 28). Todas las paralelas á un rayo MA, dirigidas por los di¬ 
versos puntos de una recta m, están en un mismo plano. 
(*) Se sobrentiende que ninguno de los dos rayos MA y NB coincide con el PC. 
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