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GEOMETRÍA HIPERBOLICA 
uno. Constrúyanse dos pianos dirigidos por MA: uno 6 normal al a, y otro y nor¬ 
mal al 6. Los planos a y y no se cortan, porque la intersección PC de los planos 
a y 6 es paralela á MA. (108), y por 
consiguiente, si los planos a y y se 
cortaran, su intersección debería ser 
al mismo tiempo paralela (108) y nor¬ 
mal al plano 6 (71), lo que es absurdo. 
Luego el plano y es paralelo al a; lue¬ 
go, por la recta MA, pasa un plano y 
paralelo al a. Demostremos que otro 
plano cualquiera 5, dirigido por MA, 
corta al a. Este plano 6 formará con el 
6 dos ángulos oblicuos, uno de los cua¬ 
les, que supondremos ser el DMAP, 
será agudo. Trácese, en 6, MP normal á PC, y serán MP normal al plano a, 
y PMA el ángulo de paralelismo correspondiente á la distancia MP. La proyec¬ 
ción normal ME de la recta MP sobre el plano § es otra recta diferente de MA, 
porque el diedro DMAP es agudo. El ángulo PME que la recta MP forma con 
su proyección ME sobre el plano § es menor que el formado por la misma recta 
MP con otra cualquiera del mismo plano 5 (62); y por consiguiente PME <PMA. 
El plano PME corta al a, según una recta PN que pasa por P y es normal á MP. 
Pues bien, las rectas ME y PN (que están en un mismo plano) se cortan, porque 
el ángulo PME es menor que el ángulo de paralelismo PMA correspondiente á 
la distancia MP; luego el punto de intersección es un punto común á los dos pla¬ 
nos a y S; luego éstos se cortan según una recta que pasa por dicho punto (9). 
La proposición queda demostrada. 
Á 
113. I. (Fig. 32). Si dos planos ay 6 cortan d un tercero y, según dos rec¬ 
tas paralelas MA, NB, y forman á un mismo lado de él dos diedros NAMD, 
EBNM, internos y suplementarios, dichos planos ay 6 son paralelos. 
Demostración. —Como, á con¬ 
secuencia de la hipótesis, es MA A 
paralela al plano 6, bastará demos¬ 
trar que los planos a y 6, no tienen 
ningún punto común. Considérese 
el eje PC interno de simetría de la 
faja MANB, y hágase girar toda la 
figura alrededor de dicho eje, hasta 
que ia faja de las paralelas MA, NB 
coincida por inversión consigo mis¬ 
ma. Entonces, toda la figura, en su 
nueva posición, quedará en coinci¬ 
dencia con su posición primitiva, porque se deduce de la hipótesis que dos 
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Fig. 32 
