40 
GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
mismo lado de ella, dos ángulos internos a, 6, cuya suma es menor que 180°, 
dichas rectas CA, DB se cortarán; y su 
punto de intersección estará al mismo 
lado de la secante EF en que se hallen los 
referidos ángulos internos. 
Ya se dijo (en el Prólogo) que esta 
célebre proposición, incluida por Euclides 
entre los Axiomas de sus Elementos de 
Geometría, no puede considerarse como 
un axioma, sino como una hipótesis, cuya 
verdad ó falsedad sólo puede ser decidida 
por la experiencia. 
II. (Fig. 37). Si es verdadero el Postulado de Euclides , para todo par de 
rayos paralelos MA, NB, la suma M -j-Nde los dos ángulos internos será 
igual á 2 rectos; pero será menor si es falso dicho Postulado. 
Demostración. —1.° Si MA es paralelo á NB, y el Postulado de Euclides 
es verdadero, la suma de los ángulos M y N vale 2 
rectos, porque no puede valer más (104); ni menos, pues 
en este último caso los rayos MA, NB se contarían (en 
virtud del Postulado) y, por lo tanto, no serían para¬ 
lelos. 
2.° Si el Postulado fuera falso, ó de otro modo, 
si en algún caso los rayos MA, NB (situados en un 
mismo plano) no se cortaran, á pesar de valer menos de dos rectos la suma 
M -{- N de los ángulos internos, el rayo paralelo á NB, dirigido por M, ó sería 
el MA ú otro interior al ángulo M; y tendríamos un par de rayos paralelos 
para el cual la suma M -j- N de los ángulos internos en M y N sería menor 
que 2 rectos; luego (116) lo mismo sucederá para todo otro par. 
III De lo expuesto, resulta que sólo hay dos hipótesis posibles: ó la referida 
suma de ángulos internos es siempre igual á 2 rectos, ó es siempre menor. En la 
primera hipótesis se funda la Geometría vulgar ó euclideana; y en la segunda, 
una Geometría no-euclídea ó anti-euclideana. Ninguna de estas dos Geometrías 
está en contradicción consigo misma ni con la experiencia; y por consiguiente, no 
es posible decidir cuál de las dos es la verdadera. En lo sucesivo, supondremos 
que el Postulado de Euclides es falso; ó lo que es equivalente, supondremos 
que, para todo par de rayos paralelos IvlA, NB, la suma de los dos á)igulos 
internos M y N es menor que 2 rectos. 
II.-—Leyes descriptivas fundamentales de la Geometría hiperbólica. 
118. I. (Fig. 38). Por un punto M, exterior á una recta B'B, pasan dos 
paralelas á dicha recta; y solamente dos. 
54 
3 
Fig. 37 
