LEYES DESCRIPTIVAS 
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Demostración. —Trácese MN normal á B'B, y por el punto M diríjase la 
recta C'MA paralela al rayo NB, y la DMA' paralela al rayo NB' opuesto al NB. 
Como suponemos (117-11) que el Postulado euclídeo es falso, debemos admitir que 
los ángulos de paralelismo NMA, A'MN son agudos, y por lo tanto, que las rec¬ 
tas C'MA, DMA' son diferentes; luego por el punto M pasan dos paralelas MA, 
MA' á la recta B'B. Es evidente que los rayos MA, MA' son los únicos que, em¬ 
pezando en M, son paralelos á la recta B'B; luego las rectas MA, MA' son tam¬ 
bién las únicas paralelas á B'B, que pasan por dicho punto M. 
II. En el plano de la figura, pasan por el punto M infinidad de rectas que no 
cortan á la B'B, y son, además de las dos paralelas, todas las rectas interiores al 
ángulo AMD. Por el contrario, todas las rectas interiores al ángulo A'MA cortan 
á B'B. De dos rectas que no se cortan y están en un mismo plano, no puede afir¬ 
marse que sean paralelas: no lo son, por ejemplo, la B'B y cualquiera otra, diri¬ 
gida por M, dentro del ángulo AMD. 
III. La recta MA se dirige al punto en el infinito del rayo NB. (102-O&S. 2. a ); 
y la MA' al punto en el infinito del rayo NB'. Si ambos puntos en el infinito fue¬ 
ran realmente puntos, tendrían que ser diferentes, porque si estuvieran confun¬ 
didos, las rectas MA, MA' serían 
una misma, por tener dos puntos 
comunes (el M y el del infinito). Se 
expresa este resultado diciendo que, 
la recta tiene dos puntos en el infi¬ 
nito, proposición oscura, con la cual se 
quiere significar que, por un punto 
exterior á una recta, pasan dos pa¬ 
ralelas á dicha recta. 
En la Hipótesis euclideana, los án¬ 
gulos de paralelismo NMA, A'MN son 
rectos, y las dos paralelas MA, MA', forman una sola recta, que se dirige á los 
dos puntos en el infinito (de la derecha y de la izquierda) de la recta B'B. Si los 
puntos en el infinito fueran puntos geométricos, deberían estar confundidos en 
uno solo, porque si fueran diferentes, las rectas C'MA y BB' tendrían dos puntos 
comunes en el infinito (el de la derecha y el de la izquierda) y por consiguiente 
coincidirían. Por eso se dice que, en la Hipótesis euclideana , la recta tiene un 
solo punto en el infinito , enunciado oscuro, que se expresa más claramente de 
este otro modo: en la Hipótesis euclideana, por un punto exterior á una recta, 
pasa una sola paralela á dicha recta. 
En la Geometría vulgar, se afirma (en virtud de cierto convenio de lengua¬ 
je) que la parábola tiene un solo punto en el infinito, y la hipérbola dos; y por 
esto, y por lo dicho antes, se ha convenido en llamar Geometría parabólica á la 
euclideana, é hiperbólica á la no-euclideana de que ahora tratamos. También 
existe otra Geometría (fundada por Riemann) que niega la existencia de las pa- 
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MEMORIAS,—TOMO VII 
