GEOMETRÍA HIPERBÓLICA 
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ralelas, negación que se expresa en otra forma, diciendo que la recta no tiene 
ningún punto en el infinito: como esta propiedad pertenece también á la elipse, 
se ha dado á dicha Geometría el nombre de Geometría elíptica. 
119. Por un punto, exterior d un plano dado, pasan infinidad de planos y 
rectas paralelas al dado; el lugar de estas paralelas es una superficie cónica 
de revolución , á la cual son tangentes los referidos planos. 
Demostración. —1.° (Fig. 39). Sean a un plano, M un punto exterior, y 
N la proyección normal de i\I sobre a. Trácese por N, en a, una recta NB, y di¬ 
ríjase por M la paralela MA al rayo NB. Si la figura BNMA da una vuelta com¬ 
pleta alrededor de MN, la recta NB describirá el plano a, y la MA una superficie 
cónica (no un plano, porque el 
ángulo de paralelismo N VIA es 
agudo). El lado MA de la super¬ 
ficie cónica, en cualquiera de sus 
infinitas posiciones, es paralelo 
á la posición correspondiente de 
la recta NB; y paralelo, por lo 
tanto, al plano a. Recíproca¬ 
mente, toda paralela MC al 
plano a, dirigida por M, es un 
lado de dicha superficie cóni¬ 
ca. En efecto: si MC es para¬ 
lela á un rayo PD situado so¬ 
bre a, trazando, por N, NE paralela á PD, será (109) MC paralela á NE; y por 
lo tanto, el ángulo de paralelismo CMN, correspondiente á la distancia MN, será 
igual al NMA; luego MC es un lado de la referida superficie cónica. Luego por 
el punto M pasan infinidad de rectas paralelas al plano a, y su lugar es una su¬ 
perficie cónica de revolución. 
2.° Todo plano 6 tangente á dicha superficie cónica es paralelo al a; porque 
si MA es la generatriz de contacto, los planos a y 6 son normales al BNMA, y 
lo cortan según rectas paralelas NB, MA (113-1). Recíprocamente, todo plano 
6 paralelo al a y dirigido por M, toca á la superficie cónica: en efecto, por ser 6 
paralelo á a, existirá sobre 6 un rayo rectilíneo RF paralelo á a; la paralela MA 
al rayo RF, dirigida por M, estará en 6, y será un lado de la superficie cónica; 
pero a y 6, por ser paralelos y cortar al plano NMA según rectas paralelas NB, 
MA, deben (113-11) formar con NMA diedros alternos iguales, y como el NB es 
recto, también lo será el MA; luego 6 es normal según MA al plano meridiano 
NMA, y es tangente, por lo tanto, á la superficie cónica. Queda, pues, demostra¬ 
do que por el punto M pasan infinidad de planos paralelos al a, y su envolvente 
es una superficie cónica de revolución. 
Observación. —Entre las rectas y planos que pasan por M, los que forman 
con MN un ángulo menor que el NMA de paralelismo, cortan al plano a; pero no 
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